1.6. Алғашқы функциялар
Басты бет
🠜 Артқа

Кіріспе бөлім

Негізгі бөлім

!! Ақау жайлы хабар беру

§ 1.6. Алғашқы функциялар

Функцияның туындысын табуды үйрендік. Енді туындыны бастапқы күйіне келтіруді үйренеміз (бұл тақырыптың басым бөлігі қисаптан тұрады).

Анықтама. Қандай да бір $I$ аралығында анықталған $f$ және $F$ функциялары берілген болсын. Егер кез келген $x\in I$ үшін $$F'(x) = f(x)$$ (немесе $dF(x) = f(x) dx$) теңдігі орындалса, онда $F$ функциясы $f$ функциясының $I$ аралығындағы алғашқы функциясы (кері туындысы) деп аталады.

Мәселен, $f(x) = x^2, x \in \R$ функциясының алғашқы функциясы $F(x) = \dfrac{x^3}{3}$ функциясы болады, себебі $$F'(x) = \bigg(\dfrac{x^3}{3}\bigg)' = x^2 = f(x).$$

Тұрақты санның туындысы нөлге тең екенін ескерсек мынадай тұжырымға келеміз: берілген функцияның алғашқы функциясында тұрақты сан болған болуы мүмкін, сондықтан алғашқы функциясы бар кез келген $f(x)$ функциясының алғашқы функциясы ретінде $F(x) + c$ (мұнда $c = \text{const}$) түріндегі функцияны нұсқаймыз.

Біздің мысалымызда, алғашқы функция ретінде кез келген $F(x) = \dfrac{x^3}{3} + c, (c = \text{const})$ түріндегі функция болады, себебі $$F'(x) = \bigg(\dfrac{x^3}{3} + C\bigg)' = x^2 = f(x) \ \ (x \in \R).$$

Алғашқы функцияны анықтау - дифференциалдау амалына кері амал. $f(x)$ функциясының алғашқы функциясын табу амалы "интеграл" деп аталатын $\int$ белгісін қолдану арқылы $$\int f(x) dx = F(x) + C$$ деп жазылады. Мұндағы $dx$ белгісі берілген функцияның алғашқы функциясын қандай аргумент бойынша іздейтінімізді көрсетеді. Яғни берілген функция іздейін деп отырған функциямыздан қай аргумент бойынша туынды алғанда шығатынын меңзейді.

Мысал 1. $f(x) = 2x$ функциясының алғашқы функциясын табыңыз.

Шешімі: Кез келген $c = \text{const}$ үшін $(x^2 + c)' = 2x$ болғасын $$\int 2x\ dx = x^2 + c.$$ Демек, $F(x) = x^2 + c$.

  1. $(\int f(x) dx)' = f(x),$ сәйкесінше $d(\int f(x) dx ) = f(x)dx,$
  2. $\int f'(x) dx = f(x) + C,$ сәйкесінше $\int df(x) = f(x) + C.$
  1. $(\int f(x) dx)' = (F(x) + C)' = F'(x) + 0 = f(x).$
  2. $\int dF(x) = \int F'(x) dx = \int f(x)dx = F(x) + C.$

Қасиеттері

Алғашқы функцияны табу амалының мынадай қасиеттері бар:

  1. $\int kf(x) dx = k\int f(x) dx, k$ - тұрақты;
  2. $\int(f(x) \pm g(x)) dx = \int f(x) dx \pm \int g(x) dx;$
  1. $\bigg(k\int f(x) dx\bigg)' = k\bigg(\int f(x) dx\bigg)' = kf(x);$
  2. $\bigg(\int f(x) dx \pm \int g(x) dx\bigg)' = \bigg(\int f(x) dx\bigg)' \pm \bigg(\int g(x)dx\bigg)' = f(x)\pm g(x);$

Айтпақшы, артық секілді көрінгенімен мына бір деректі де келтіре кетейік:

  • $\int f(x) dx \neq \int f(x)$
  • $\int x^2 dx \neq \dfrac{x^3}{3}$
  • $\int f(x) \cdot g(x) dx \neq \int f(x) dx \int g(x) dx$
  • $\int\dfrac{f(x)}{g(x)}dx \neq \dfrac{\int f(x) dx}{\int g(x) dx}$

Негізгі алғашқылар кестесі

Алғашқы функцияны табу амалы дифференциалдау амалына кері амал болғасын, туындылар тізіміне негіздей отырып бірқатар функцияның алғашқы функцияларының тізімін құруға болады:

Дәрежелік және көрсеткіштік функциялар
  1. $\int x^p dx = \dfrac{x^{p + 1}}{p + 1} + C \ \ (p \neq -1);$
  2. $\int \dfrac{dx}{x} = \ln |x| + C;$
  3. $\int a^x dx = \dfrac{a^x}{\ln a} + C;$
  4. $\int e^x dx = e^x + C;$
Тригонометриялық функциялар
  1. $\int \sin x\ dx = -\cos x + C;$
  2. $\int \cos x\ dx = \sin x + C;$
  3. $\int \sh x dx = \ch x + C;$
  4. $\int \ch x dx = \sh x + C;$
  5. $\int \tg x\ dx = -\ln|\cos x| + C;$
  6. $\int \ctg x\ dx = \ln|\sin x| + C;$
  7. $\int \dfrac{dx}{\cos^2 x} = \tg x + C;$
  8. $\int \dfrac{dx}{\sin^2 x} = -\ctg x + C;$
  9. $\int\dfrac{dx}{\ch^2 x} = \th x + C;$
  10. $\int\dfrac{dx}{\sh^2 x} = -\cth x + C;$
  11. $\int\dfrac{dx}{\sin x} = \ln\bigg|\tg\dfrac{x}{2}\bigg| + C;$
  12. $\int\dfrac{dx}{\cos x} = \ln\bigg|\tg\bigg(\dfrac{x}{2} + \dfrac{\pi}{4}\bigg)\bigg| + C;$
Кері тригонометриялық функциялар
  1. $\int\dfrac{dx}{\sqrt{a^2 - x^2}} = \arcsin\dfrac{x}{a} + C;$
  2. $\int\dfrac{dx}{a^2 + x^2} = \dfrac{1}{a}\arctg\dfrac{x}{a} + C;$
  3. $\int \dfrac{dx}{\sqrt{1 - x^2}} = \begin{cases}\arcsin x + C, \\ -\arccos x + C,\end{cases}$
  4. $\int \dfrac{dx}{1 + x^2} = \begin{cases}\arctg x + C, \\ -\arcctg x + C,\end{cases}$
Және басқалары
  1. $\int \dfrac{dx}{\sqrt{x^2 + q}} = \ln|x + \sqrt{x^2 + q}| + C.$
  2. $\int\dfrac{dx}{\sqrt{x^2 + a^2}} = \ln|x + \sqrt{x^2 + a^2}| + C;$
  3. $\int\dfrac{dx}{a^2 - x^2} = \dfrac{1}{2a}\cdot\ln\bigg|\dfrac{a + x}{a - x}\bigg| + C;$
  4. $\int\dfrac{dx}{x^2 - a^2} = \dfrac{1}{2a}\cdot\ln\bigg|\dfrac{x - a}{x + a}\bigg| + C;$
  1. $\int\sqrt{a^2 - x^2} dx = \dfrac{x}{2}\cdot\sqrt{a^2 - x^2} + \dfrac{a^2}{2}\arcsin\dfrac{x}{a} + C;$
  2. $\int\sqrt{x^2 \pm a^2} dx = \dfrac{x}{2}\cdot\sqrt{x^2 \pm a^2} \pm \dfrac{a^2}{2}\ln|x + \sqrt{x^2 \pm a^2}| + C.$
Бұл формулалар теңдіктің оң жақтарынан туынды алу арқылы дәлелденеді. Шыққан нәтиже теңдіктің сол жағындағы интеграласты өрнекке тең болуы керек. Мысалға,

$$\begin{aligned} (\ln|x + \sqrt{x^2 + q})' &= \dfrac{1}{x + \sqrt{x^2 + q}}\bigg(1 + \dfrac{x}{\sqrt{x^2 + q}}\bigg) \\ &= \dfrac{1}{x + \sqrt{x^2 + q}}\cdot\dfrac{x + \sqrt{x^2 + q}}{\sqrt{x^2 + q}} = \dfrac{1}{\sqrt{x^2 + q}}. \end{aligned}$$

Басқалары да осылай дәлелденеді.

Мысал. $2x^4 - 3x^2 + x - 5$ функциясының алғашқы функциясын табыңыз.

Шешімі:

$$\begin{aligned} \int(2x^4 - 3x^2 + x - 5) dx &= 2\int x^4 dx - 3\int x^2 dx + \int x dx - 5\int dx \\ &= 2\dfrac{x^5}{5} + C_1 - 3\dfrac{x^3}{3} + C_2 + \dfrac{x^2}{2} + C_3 - 5x + C_4 \\ &= \dfrac{2}{5}x^5 - x^3 + \dfrac{1}{2} x^2 - 5x + C,\end{aligned}$$

мұнда $C = C_1 + C_2 + C_3 + C_4$ дедік.
Тапсырма. Берілген алғашқыларды табыңыз.
  1. $\int 5 a^2 x^6 dx;$
  2. $\int (6x^2 + 8X + 3)dx;$
  3. $\int x(x + a)(x + b)dx;$
  4. $\int (a + bx^3)^2 dx;$
  5. $\int \sqrt{2px}dx;$
  6. $\int (nx)^{\frac{1-n}{n}} dx;$
  7. $\int (a^{\frac{2}{3}} - x^{\frac{2}{3}})^3 dx;$
  8. $\int (\sqrt{x} + 1)(x - \sqrt{x} + 1)dx;$
  9. $\int \dfrac{dx}{\sqrt[n]{x}};$
  10. $\int \dfrac{(x^2 + 1)(x^2 - 2)}{\sqrt[3]{x^2}}dx;$
  11. $\int \dfrac{(x^m - x^n)^2}{\sqrt{x}}dx;$
  12. $\int \dfrac{(\sqrt{a} - \sqrt{x})^4}{\sqrt{ax}}dx;$
  13. $\int \dfrac{dx}{x^2 + 7};$
  14. $\int \dfrac{dx}{x^2 - 10};$
  15. $\int \dfrac{dx}{\sqrt{4 + x^2}};$
  16. $\int \dfrac{dx}{\sqrt{8 - x^2}};$
  1. $\dfrac{5}{7} a^2 x^7;$
  2. $2x^3 + 4x^2 + 3x;$
  3. $\dfrac{x^4}{4} + \dfrac{(a + b)x^3}{3} + \dfrac{abx^2}{2};$
  4. $a^2 x + \dfrac{abx^4}{2} + \dfrac{b^2 x^7}{7};$
  5. $\dfrac{2x}{3}\sqrt{2px};$
  6. $\sqrt[n]{nx};$
  7. $a^2 x - \dfrac{9}{5}a^{\frac{4}{3}}x^{\frac{5}{3}} + \dfrac{9}{7} a^{\frac{2}{3}} x^{\frac{7}{3}} - \dfrac{x^3}{3};$
  8. $\dfrac{2x^2\sqrt{x}}{5} + x;$
  9. $\dfrac{nx^{\frac{n-1}{n}}}{n - 1};$
  10. $\dfrac{3x^4 \sqrt[3]{x}}{13} - \dfrac{3x^2\sqrt[3]{x}}{7} - 6\sqrt[3]{x};$
  11. $\dfrac{2x^{2m}\sqrt{x}}{4m + 1} - \dfrac{4x^{m+n}\sqrt{x}}{2m + 2n + 1} + \dfrac{2x^{2n}\sqrt{x}}{4n + 1};$
  12. $2a \sqrt{ax} - 4ax + 4x \sqrt{ax} - 2x^2 + \dfrac{2x^3}{5\sqrt{ax}};$
  13. $\dfrac{1}{\sqrt{7}}\arctg\dfrac{x}{\sqrt{7}};$
  14. $\dfrac{1}{2\sqrt{10}}\ln\bigg|\dfrac{x - \sqrt{10}}{x + \sqrt{10}}\bigg|;$
  15. $\ln(x + \sqrt{4 + x^2});$
  16. $\arcsin \dfrac{x}{2\sqrt{2}};$

Алғашқыны табу тәсілдері

Алғашқы функцияны табу кезінде қолғабыс болатын ең танымал төрт тәсіл бар:

  • Интеграластындағы өрнекті түрлендіру
  • Айнымалы енгізу тәсілі
  • Тіке табу
  • Бөліктеп есептеу тәсілі

Бірінші тәсіл - берілген функцияны түрлендіру арқылы бізге таныс күйге келтіріп барып алғашқысын табу. Оған мына теорема сүйеу болады:

Теорема. Егер $f(x) = g(x)$, онда $\int f(x) dx = \int g(x) dx.$
Егер $f(x) = g(x)$ болса, онда, $$\begin{cases} (\int g(x) dx)' = g(x) = f(x) \\ (\int f(x) dx)' = f(x) = g(x) \end{cases} \rArr \int f(x) dx = \int g(x) dx.$$
Мысал. $\int\dfrac{x + 1}{x} dx$ алғашқысын табыңыз.
Шешімі:

$$\int\dfrac{x + 1}{x} dx = \int\bigg(\dfrac{x}{x} + \dfrac{1}{x}\bigg)dx = \int\bigg(1 + \dfrac{1}{x}\bigg)dx = \int dx + \int \dfrac{1}{x} dx = x + \ln|x| + C.$$

2. Айнымалы енгізу

Теорема (айнымалы енгізу). Егер $f(x)$ және $\varphi'(t)$ функциялары үзіліссіз болса, және $x = \varphi(t)$ болса, онда $$\int f(\varphi(t))\varphi'(t)dt = \int f(x) dx.$$
Бұл жағдайда $f(x)$ функциясы күрделі функция болғасын, тексеру кезінде теңдіктің оң жағынан $t$ бойынша туынды аламыз:

$$\bigg(\int f(x)dx\bigg)'_t = \bigg(\int f(x) dx\bigg)'_x \cdot x'_t = f(x)\varphi'(t) = f(\varphi(t))\varphi'(t).$$

Қай кезде қандай айнымалы енгізілетіні жайлы нақты бір заңдылық жоқ. Сондықтан көбіне тәжірибеңіздің көп болуы маңызға ие. Жаңа айнымалы енгізу арқылы есептеген соң нәтижені қайтадан бастапқы айнымалыға келтіру қажет. Заңдылықты кері бағытта да қолдануға болады.

Мысал 1. $\int e^{\frac{x}{4}} dx$ алғашқысын табыңыз.

Шешімі: Мұнда $x = 4t$ деп алсақ, онда $dx = 4dt$ болады. Сәйкесінше,

$$\int e^{x}{4} dx = 4\int e^t dt = 4e^t + C = 4e^{\frac{x}{4}} + C.$$

Мысал 2. $\int x\cdot\sqrt{x - 3}dx$ алғашқысын табыңыз.

Шешімі: $\sqrt{x - 3} = t$ дейік, онда $x = t^2 + 3, dx = 2t\ dt$. Сәйкесінше

$$\begin{aligned} \int x \cdot \sqrt{x - 3}dx &= \int(t^2 + 3) \cdot t \cdot 2t dt = 2\int (t^4 + 3t^2) dt = 2\int t^4 dt + 6\int t^2 dt \\ &= 2\cdot\dfrac{t^5}{5} + 6 \cdot \dfrac{t^3}{3} + C = \dfrac{2}{5}(x - 3)^{5/2} + 2(x - 3)^{3/2} + C. \end{aligned}$$

Мысал 3. $\int\dfrac{dx}{\sqrt{x^2 + a^2}} = \ln| x + \sqrt{x^2 + a^2}| + C$ формуласын дәлелдеңіз.

Шешімі: $t = \sqrt{x^2 + a^2} + x$ дейік, сонда

$$dt = \dfrac{\cancel{2}x}{\cancel{2}\sqrt{x^2 + a^2}} dx + dx = \dfrac{\sqrt{x^2 + a^2} + x}{\sqrt{x^2 + a^2}} dx.$$

Осыдан

$$\dfrac{dx}{\sqrt{x^2 + a^2}} = \dfrac{dt}{\sqrt{x^2 + a^2} + x} = \dfrac{dt}{t}.$$

Сонда,

$$\int\dfrac{dx}{\sqrt{x^2 + a^2}} = \int\dfrac{dt}{t} = \ln|t| + C = \ln|x + \sqrt{x^2 + a^2}| + C.$$

Мысал 4. $\int \dfrac{dx}{\sqrt{5x - 2}}$ алғашқысын табыңыз.

Шешімі: $t = 5x - 2$ дейік, онда $dt = 5 dx; \ dx = \dfrac{1}{5} dt$ болады. Бұдан

$$\int\dfrac{dx}{\sqrt{5x - 2}} = \dfrac{1}{5}\int\dfrac{dt}{\sqrt{t}} = \dfrac{1}{5}\dfrac{t^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}} + C = \dfrac{2}{5}\sqrt{5x - 2} + C.$$

Мысал 5. $\int \dfrac{x \ dx}{\sqrt{1 + x^4}}$ алғашқысын табыңыз.

Шешімі: $t = x^2$ дейік, сонда $dt = 2x, \ x\ dx = \dfrac{dt}{2}$ болады, және

$$\begin{aligned}\int\dfrac{x\ dx}{\sqrt{1 + x^4}} &= \dfrac{1}{2}\int\dfrac{dt}{\sqrt{1 + t^2}} \\ &= \dfrac{1}{2}\ln(t + \sqrt{1 + t^2}) + C = \dfrac{1}{2}\ln(x^2 + \sqrt{1 + x^2}) + C. \end{aligned}$$

Мысал 6. $\int x \cdot (x + 2)^{100} dx$ алғашқысын табыңыз.

Шешімі: $x + 2 = t$ болсын. Онда $x = t - 2, dx = dt$. Сәйкесінше

$$\begin{aligned} \int x\cdot(x+2)^{100}dx &= \int(t-2)\cdot t^{100}dt = \int t^{101} dt - 2\int t^{100} dt \\ \ \\ &= \dfrac{t^{102}}{102} - 2\cdot\dfrac{t^{101}}{101} + C = \dfrac{(x + 2)^{102}}{102} - \dfrac{2(x+2)^{101}}{101} + C. \end{aligned}$$

Мысал 7. $\int x^2 e^{x^2} dx$ алғашқысын табыңыз.

Шешімі: $t = x^3$ болсын, онда $dt = 3x^2\ dx,\ x^2\ dx = \dfrac{dt}{3}$ болады, және

$$\int x^2 e^{x^3} dx = \dfrac{1}{3}\int e^t dt = \dfrac{1}{3} e^t + C = \dfrac{1}{3} e^{x^3} + C.$$

Тапсырма. Көрсетілген жаңа айнымалыларды пайдаланып берілген алғашқыларды табыңыз.
  1. $\int \dfrac{dx}{x\sqrt{x^2 - 2}}, \ x = \dfrac{1}{t};$
  2. $\int \dfrac{dx}{e^x + 1}, \ x = -\ln t;$
  3. $\int \dfrac{x \ dx}{\sqrt{x + 1}}, \ t = \sqrt{x + 1};$
  4. $\int \dfrac{\cos x\ dx}{\sqrt{1 + \sin^2 x}}, \ t = \sin x;$
  5. $\int x(5x^2 - 3)^7 dx, \ 5x^2 - 3 = t;$
  1. $\dfrac{1}{\sqrt{2}} \arccos\dfrac{\sqrt{2}}{x}$, мұнда $x > \sqrt{2};$
  2. $-\ln(1 + e^{-x});$
  3. $\dfrac{2}{3}\sqrt{(x + 1)^3} - 2\sqrt{x + 1};$
  4. $\ln(\sin x + \sqrt{1 + \sin^2 x});$
  5. $\dfrac{1}{80}(5x^2 - 3)^8;$
Тапсырма. Берілген алғашқыларды Үйлесімді айнымалылар енгізу арқылы табыңыз.
  1. $\int x(2x + 5)^{10} dx;$
  2. $\int \dfrac{1 + x}{1 + \sqrt{x}} dx;$
  3. $\int \dfrac{dx}{x\sqrt{2x + 1}};$
  4. $\int \dfrac{dx}{\sqrt{e^x - 1}};$
  5. $\int \dfrac{\ln 2x}{\ln 4x}\dfrac{dx}{x};$
  6. $\int \dfrac{(\arcsin x)^2}{\sqrt{1 - x^2}} dx;$
  7. $\int \dfrac{e^{2x}}{\sqrt{e^x + 1}} dx;$
  8. $\int \dfrac{\sin^3 x}{\sqrt{\cos x}}dx;$
  9. $\int \dfrac{dx}{x\sqrt{1 + x^2}};$
  1. $\dfrac{1}{4}\bigg[\dfrac{(2x + 5)^{12}}{12} - \dfrac{5(2x + 5)^{11}}{11}\bigg];$
  2. $2\bigg[\dfrac{\sqrt{x^3}}{3} - \dfrac{x}{2} + 2\sqrt{x} - 2\ln(1 + \sqrt{x})\bigg];$
  3. $\ln\bigg|\dfrac{\sqrt{2x + 1} - 1}{\sqrt{2x + 1} + 1}\bigg|;$
  4. $2\arctg\sqrt{e^x - 1};$
  5. $\ln x - \ln 2\ln|\ln x + 2\ln 2|;$
  6. $\dfrac{(\arcsin x)^3}{3};$
  7. $\dfrac{2}{3}(e^x - 2)\sqrt{e^x + 1};$
  8. $\dfrac{2}{5}(\cos^2 x - 5)\sqrt{\cos x};$
  9. $\ln\bigg|\dfrac{x}{1 + \sqrt{x^2 + 1}}\bigg|;$

3. Тіке есептеу

Егер $\int f(x) dx = F(x) + C$ болса, онда кез келген туындысы үзіліссіз болатын $\varphi(x)$ функциясы үшін $$\int f(\varphi(x)) d\varphi(x) = F(\varphi(x)) + C$$ теңдігі орындалады.
Егер $\varphi'(t)dt = d(\varphi(t))$ екенін ескерсек, және $y = \varphi(x)$ десек, онда $$\int f(\varphi(x))d\varphi(x) = \int f(\varphi(x))\varphi'(x) dx = \int f(y)dy = F(y) + C = F(\varphi(x)) + C;$$

Қысқасы, интеграластындағы өрнекте $f'(x) dx = d(f(x))$ теңдігі жүзеге асады дейді. Бұны диффенренциал белгісінің астына келтіру деп атаймыз.

Демек $\int x^2 dx = \dfrac{x^3}{3} + C$ формуласын жалау етіп теорема арқылы мынадай теңдеулерді орнатуға болады: $$\begin{aligned} \int \sin^2 x d(\sin x) &= \dfrac{\sin^3 x}{3} + C, \\ \int \ln^2 x d(\ln x) &= \dfrac{\ln^3 x}{3} + C, \\ \int \tg^2 x d(\tg x) &= \dfrac{\tg^3 x}{3} + C,\\ \int \cos (x^5) d(x^5) &= \sin(x^5) + C, \\ \int \cos\bigg(\dfrac{3^x}{\ln x}\bigg)d\bigg(\dfrac{3^x}{\ln x}\bigg) &= \sin \bigg(\dfrac{3^x}{\ln x}\bigg) + C \end{aligned}$$

Енді осылардың негізгі дегендеріне тоқталып өтейік: $a$ мен $b$ - қандай да бір сандар болсын, онда $$\begin{aligned} dx &= d(x + a), a, \\ dx &= \dfrac{1}{a} d(ax + b), \ a\neq 0, \\ x\cdot dx &= \dfrac{1}{2}d(x^2), \\ \cos x dx &= d(\sin x), \\ \sin x dx &= -d(\cos x), \\ \dfrac{1}{x}dx &= d(\ln x), \\ \dfrac{1}{\cos^2 x}dx &= d(\tg x). \end{aligned}$$

Мысал. $\int(2x - 1)^{24}dx$ алғашқысын табыңыз.

$$\begin{aligned}\int(2x - 1)^{24}dx &= \dfrac{1}{2}\int(2x - 1)^{24}d(2x - 1) \\ &= \dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{(2x - 1)^{24}}{25} + C;\end{aligned}$$

Мысал. $\int x^2 e^{x^3} dx$ алғашқысын табыңыз.

$$\int x^2 e^{x^3} dx = \dfrac{1}{3} \int e^{x^3} d(x^3) = \dfrac{1}{3} e^{x^3} + C;$$

Мысал. $\int \dfrac{x\ dx}{\sqrt{1 + x^4}}$ алғашқысын табыңыз.

$$\int \dfrac{x\ dx}{\sqrt{1 + x^4}} = \dfrac{1}{2}\int\dfrac{d(x^2)}{\sqrt{1 + (x^2)^2}} = \dfrac{1}{2}\ln(x^2 + \sqrt{1 + x^4}) + C.$$

Мысал. $\int\dfrac{dx}{\sqrt{4 - 3x^2}}$ алғашқысын табыңыз.

$$\begin{aligned}\int\dfrac{dx}{\sqrt{4 - 3x^2}} &= \dfrac{1}{\sqrt{3}}\int\dfrac{d(\sqrt{3}\cdot x)}{\sqrt{(2)^2 - (\sqrt{3}\cdot x)^2}} \\ &= \dfrac{1}{\sqrt{3}} \cdot \arcsin\dfrac{\sqrt{3}\cdot x}{2} + C;\end{aligned}$$

Мысал. $\int\dfrac{dx}{(x-1)(x+2)}$ алғашқысын табыңыз.

$$\begin{aligned} \int\dfrac{dx}{(x-1)(x+2)} &= -\dfrac{1}{3}\int\dfrac{(x - 1) - (x + 2)}{(x - 1)(x + 2)} dx \\ &= -\dfrac{1}{3}\int\dfrac{x - 1}{(x - 1)(x + 2)}dx + \dfrac{1}{3}\int\dfrac{x + 2}{(x - 1)(x + 2)} dx \\ &= -\dfrac{1}{3}\int\dfrac{d(x + 2)}{x + 2} + \dfrac{1}{3}\int\dfrac{d(x - 1)}{x - 1} \\ &= -\dfrac{1}{3}\ln|x + 2| + \dfrac{1}{3}\ln|x - 1| + C; \end{aligned}$$

Мысал. $\int x(x + 2)^9 dx$ алғашқысын табыңыз.

$$\begin{aligned} \int x(x + 2)^9 dx &= \int(x + 2 - 2) (x + 2)^9 dx \\ &= \int (x + 2)^{10}dx - 2\int (x + 2)^9 dx \\ &= \int(x + 2)^{10} d(x + 2) - 2\int(x + 2)^9 d(x + 2) \\ &= \dfrac{(x + 2)^{11}}{11} - 2 \dfrac{(x + 2)^{10}}{10} + C; \end{aligned}$$

Мысал. $\int\dfrac{dx}{\sqrt{3 - 2x + x^2}}$ алғашқысын табыңыз.

$$\begin{aligned} \int\dfrac{dx}{\sqrt{3 - 2x + x^2}} &= \int\dfrac{dx}{\sqrt{2 + (x - 1)^2}} = \int\dfrac{d(x - 1)}{\sqrt{(\sqrt{2})^2 + (x - 1)^2}} \\ &= \ln|x - 1 + \sqrt{3 - 2x + x^2}| + C; \end{aligned}$$

Мысал. $\int x^3\cdot \sqrt[3]{1 + x^2}dx$ алғашқысын табыңыз.

$$\begin{aligned} \int x^3\cdot \sqrt[3]{1 + x^2}dx &= \int (1 + x^2)^{1/3}\cdot x \cdot(x^2 + 1 - 1) dx \\ &= \dfrac{1}{2}\int(1 + x^2)^{4/3} d(1 + x^2) - \dfrac{1}{2}\int(1 + x^2)^{1/3}d(1 + x^2) \\ &= \dfrac{3}{14}(1 + x^2)^{7/3} - \dfrac{3}{8}(1 + x^2)^{4/3} + C. \end{aligned}$$

Мысал. $\int\sin^2 6x dx$ алғашқысын табыңыз.

$$\begin{aligned} \int\sin^2 6x dx &= \dfrac{1}{2}\int(1 - \cos 12x) dx \\ &= \dfrac{1}{2}\int dx - \dfrac{1}{2}\int\cos 12x \\ &= \dfrac{1}{2}x - \dfrac{1}{2}\int\cos 12xd(12x)\cdot\dfrac{1}{12} \\ &= \dfrac{1}{2}x - \dfrac{1}{24}\sin 12x + C; \end{aligned}$$

Мысал. $\int\tg x dx$ алғашқысын табыңыз.

$$\int \tg x dx = \int \dfrac{\sin x}{\cos x}dx = \int \dfrac{-d(\cos x)}{\cos x} = -\ln |\cos x| + C;$$

Мысал. $\int\ctg^2 x dx$ алғашқысын табыңыз.

$$\begin{aligned}\int\ctg^2 x dx &= \int\dfrac{1 - \sin^2 x}{\sin^2 x} dx \\ &= \int\bigg(\dfrac{1}{\sin^2 x} - 1\bigg) dx = \int\dfrac{1}{\sin^2 x} dx - \int dx = -\ctg x - x + C;\end{aligned}$$

Мысал. $\int\dfrac{dx}{\ctg^5 x \cdot \sin^2 x}$ алғашқысын табыңыз.

$$\begin{aligned} \int\dfrac{dx}{\ctg^5 x \cdot \sin^2 x} &= -\int(\ctg x)^{-5}d(\ctg x) \\ &= -\dfrac{\ctg^{-4} x}{-4} + C = \dfrac{1}{4\ctg^4 x} + C; \end{aligned}$$
Тапсырма. Берілген алғашқыларды табыңыз.
  1. $\int\dfrac{a\ dx}{a - x};$
  2. $\int\dfrac{2x + 3}{2x + 1}dx;$
  3. $\int\dfrac{1 - 3x}{3 + 2x}dx;$
  4. $\int\dfrac{x\ dx}{a + bx};$
  5. $\int\dfrac{ax + b}{\alpha x + \beta}dx;$
  6. $\int\dfrac{x^2 + 1}{x - 1}dx;$
  7. $\int\dfrac{x^2 + 5x + 7}{x + 3}dx;$
  8. $\int\dfrac{x^4 + x^2 + 1}{x - 1}dx;$
  9. $\int\bigg(a + \dfrac{b}{x - a}\bigg)^2dx;$
  10. $\int\dfrac{x}{(x + 1)^2}dx;$
  11. $\int\dfrac{b\ dy}{\sqrt{1 - y}};$
  12. $\int 4^{2 - 3x} dx;$
  13. $\int(e^t - e^{-t}) dt;$
  14. $\int e^{-(x^2 + 1)} x dx;$
  15. $\int x\cdot 7^{x^2} dx;$
  16. $\int\dfrac{e^{\frac{1}{x}}}{x^2}dx;$
  17. $\int \sin(a + bx) dx;$
  18. $\int\cos\dfrac{x}{\sqrt{2}}dx;$
  19. $\int(\cos ax + \sin ax)^2 dx;$
  20. $\int \sin^3 6x \cos 6x \ dx;$
  1. $a\ln\bigg|\dfrac{C}{a - x}\bigg|;$
  2. $x + \ln|2x + 1|;$
  3. $-\dfrac{3}{2} x + \dfrac{11}{4}\ln|3 + 2x|;$
  4. $\dfrac{x}{b} - \dfrac{a}{b^2}\ln|a + bx|;$
  5. $\dfrac{a}{\alpha} x + \dfrac{b\alpha + a\beta}{\alpha^2}\ln|\alpha x + \beta|;$
  6. $\dfrac{x^2}{2} + x + 2\ln|x - 1|;$
  7. $\dfrac{x^2}{2} + 2x + \ln|x + 3|;$
  8. $\dfrac{x^4}{4} + \dfrac{x^3}{3} + x^2 + 2x + 3\ln|x - 1|;$
  9. $a^2 x + 2ab\ln|x - a| - \dfrac{b^2}{x - a};$
  10. $\ln|x + 1| + \dfrac{1}{x + 1};$
  11. $-2b\sqrt{1 - y};$
  12. $-\dfrac{1}{3\ln 4} 4^{2 - 3x};$
  13. $e^t + e^{-t};$
  14. $-\dfrac{1}{2e^{x^2 + 1}};$
  15. $\dfrac{1}{2\ln 7} 7^{x^2};$
  16. $-e^{\frac{1}{x}};$
  17. $-\dfrac{1}{b}\cos(a + bx);$
  18. $\sqrt{2}\sin\dfrac{x}{\sqrt{2}};$
  19. $x - \dfrac{1}{2a} \cos 2a x;$
  20. $\dfrac{\sin^4 6x}{24};$

4. Бөліктеу тәсілі

Үзіліссіз туындыға ие $u = u(x)$ және $v = v(x)$ функциялары берілген болсын, онда $$\int udv = uv - \int vdu.$$
$d\bigg(uv - \int v du\bigg) = d(uv) - d(\int vdu) = udv + vdu - vdu = udv.$

Мысал. $\int\ln x\ dx$ алғашқысын табыңыз.

Шешімі: $u = \ln x, dv = dx$ десек, онда $du = \dfrac{1}{x}dx, v = x$ болады. Сонда

$$\int\ln x\ dx = x\cdot\ln x - \int x \cdot \dfrac{1}{x} dx = x \cdot \ln x - x + C.$$

Мысал. $\int x \ln x \ dx$ алғашқысын табыңыз.

Шешімі: $u = \ln x, dv = x \ dx$ десек, $dv = \dfrac{dx}{x}, v = \dfrac{x^2}{2}$. Сонда

$$\int x \ln x \ dx = \dfrac{x^2}{2} \ln x - \int \dfrac{x^2}{2}\dfrac{dx}{x} = \dfrac{x^2}{2}\ln x - \dfrac{x^2}{4} + C.$$

Мысал. $\int e^x \cos x\ dx$ алғашқысын табыңыз.

$$\begin{aligned} \int e^x \cos x\ dx &= \int e^x d(\sin x) = e^x \sin x - \int e^x \sin x dx \\ &= e^x \sin x + \int e^x d(\cos x) = e^x \sin x + e^x \cos x - \int e^x \cos x\ dx. \end{aligned}$$


Сонда,

$$\int e^x \cos x dx = e^x \sin x + e^x \cos x - \int e^x \cos x \ dx,$$

демек,

$$\int e^x \cos x\ dx = \dfrac{e^x}{2}(\sin x + \cos x) + C.$$

Мысал. $\int(2x + 1)e^{3x}dx$ алғашқысын табыңыз.

Шешімі: $u = 2x + 1, dv = e^{3x} dx$ десек, онда $du = 2dx, v = \int e^{3x} dx = \dfrac{1}{3} e^{3x}$ болады. Онда, бөліктеу формуласы бойынша:

$$\begin{aligned} \int (2x + 1)e^{3x}dx &= (2x + 1)\cdot\dfrac{1}{3}e^{3x} - \int\dfrac{1}{3}e^{3x} 2dx \\ &= \dfrac{1}{3}(2x + 1)e^{3x} - \dfrac{2}{9}e^{3x} + C. \end{aligned}$$

Мысал. $\int x^2 e^x dx$ алғашқысын табыңыз.

Шешімі: $u = x^2, dv = e^x dx$ десек, онда $du = 2x\ dx, v = e^x$ болады, сонда $$\int x^2 e^x dx = x^2 e^x - 2\int e^x \cdot x dx.$$ Алынған $\int e^x x\ dx$ алғашқысын шешу үшін тағы да бөліктеу тәсілін қолданамыз: $u = x, dv = e^x dx \rArr du = dx, v = e^x$. Сонда,

$$\int e^x\cdot x\ dx = x\cdot e^x - \int e^x dx = x\cdot e^x - e^x + C.$$

Демек $\int x^2 e^x dx = x^2 e^x - 2(x\cdot e^x - e^x + C).$

Мысал. $\int\arctg x dx$ алғашқысын табыңыз.

Шешімі: $u = \arctg x, dv = dx$ десек, онда $du = \dfrac{1}{1 + x^2}dx, v = x$ болады, сонда

$$\begin{aligned} \int\arctg x\ dx &= x\cdot\arctg x - \int\dfrac{x}{1 + x^2}dx \\ &= x\cdot\arctg x - \dfrac{1}{2}\int\dfrac{d(1 + x^2)}{1 + x^2} \\ &= x\cdot\arctg x - \dfrac{1}{2}\ln(1 + x^2) + C. \end{aligned}$$

Тапсырма. Берілген алғашқыларды бөліктеу арқылы табыңыз.
  1. $\int \arctg x \ dx;$
  2. $\int \arcsin x \ dx;$
  3. $\int x\sin x\ dx;$
  4. $\int x \cos 3x \ dx;$
  5. $\int\dfrac{x}{e^x}\ dx;$
  6. $\int x\cdot 2^{-x}\ dx;$
  7. $\int x^2 e^{3x}\ dx;$
  8. $\int (x^2 - 2x + 5)e^{-x}\ dx;$
  9. $\int x^3 e^{-\frac{x}{3}}\ dx;$
  10. $\int x \sin x\cos x dx;$
  11. $\int(x^2 + 5x + 6) \cos 2x \ dx;$
  12. $\int x^2 \ln x \ dx;$
  13. $\int \ln^2 x dx;$
  14. $\int \dfrac{\ln x}{x^3}\ dx;$
  15. $\int \dfrac{\ln x}{\sqrt{x}} dx;$
  16. $\int x \arctg x \ dx;$
  17. $\int x \arcsin x \ dx;$
  18. $\int \ln (x + \sqrt{1 + x^2}) dx;$
  19. $\int \dfrac{x\ dx}{\sin^2 x};$
  20. $\int \dfrac{x\cos x}{\sin^2 x}\ dx;$
  21. $\int e^x \sin x \ dx;$
  22. $\int 3^x \cos x \ dx;$
  23. $\int e^{ax} \sin bx\ dx;$
  24. $\int \sin (\ln x)\ dx;$
  1. $x\arctg x - \dfrac{1}{2}\ln(1 + x^2);$
  2. $x \arcsin x + \sqrt{1 - x^2};$
  3. $\sin x - x\cos x;$
  4. $\dfrac{x\sin 3x}{3} + \dfrac{\cos 3x}{9};$
  5. $-\dfrac{x + 1}{e^x};$
  6. $-\dfrac{x\ln 2 + 1}{2^x \ln^2 2};$
  7. $\dfrac{e^{3x}}{27}(9x^2 - 6x + 2);$
  8. $-e^{-x}(x^2 + 5);$
  9. $-3e^{-\frac{x}{3}}(x^3 + 9x^2 + 54x + 162);$
  10. $-\dfrac{x\cos 2x}{4} + \dfrac{\sin 2x}{8};$
  11. $\dfrac{2x^2 + 10x + 11}{4}\sin 2x + \dfrac{2x + 5}{4} \cos 2x;$
  12. $\dfrac{x^3}{3}\ln x - \dfrac{x^3}{9};$
  13. $x\ln^2 x - 2x\ln x + 2x;$
  14. $-\dfrac{\ln x}{2x^2} - \dfrac{1}{4x^2};$
  15. $2\sqrt{x}\ln x - 4\sqrt{x};$
  16. $\dfrac{x^2 + 1}{2}\arctg x - \dfrac{x}{2};$
  17. $\dfrac{x^2}{2}\arcsin x - \dfrac{1}{4}\arcsin x + \dfrac{x}{4}\sqrt{1 - x^2};$
  18. $x\ln(x + \sqrt{1 + x^2}) - \sqrt{1 + x^2};$
  19. $-x\ctg x + \ln|\sin x|;$
  20. $-\dfrac{x}{\sin x} + \ln\bigg|\tg\dfrac{x}{2}\bigg|;$
  21. $\dfrac{e^x(\sin x - \cos x)}{2};$
  22. $\dfrac{3^x(\sin x + \cos x \ln 3)}{1 + (\ln 3)^2};$
  23. $\dfrac{e^{ax}(a\sin bx - b \cos bx)}{a^2 + b^2};$
  24. $\dfrac{x}{2}[\sin(\ln x) - \cos(\ln x)];$

Жаттығулар

Тапсырма. Берілген алғашқыларды табыңыз.
  1. $\int x^2 e^{-x^2}\ dx;$
  2. $\int e^{\sqrt{x}}\ dx;$
  3. $\int (x^2 - 2x + 3)\ln x \ dx;$
  4. $\int x\ln\dfrac{1 - x}{1 + x}\ dx;$
  5. $\int \dfrac{\ln^2 x}{x^2}\ dx;$
  6. $\int \dfrac{\ln(\ln x)}{x}\ dx;$
  7. $\int x^2 \arctg 3x \ dx;$
  8. $\int x (\arctg x)^2 dx;$
  9. $\int (\arcsin x)^2 dx;$
  10. $\int \cos^2(\ln x) dx;$
  11. $\int \dfrac{\arcsin x}{x^2} dx;$
  12. $\int \dfrac{\arcsin \sqrt{x}}{\sqrt{1 - x}} dx;$
  13. $\int \dfrac{x^2 dx}{\sqrt{9 - x^2}};$
  14. $\int \dfrac{\sin^2 x}{e^x} dx;$
  15. $\int \sqrt{a^2 - x^2} dx;$
  16. $\int x\tg^2 2x \ dx;$
  17. $\int \dfrac{x^2}{(x^2 + 1)^2} dx;$
  18. $\int \dfrac{dx}{(x^2 + a^2)^2};$
  19. $\int \sqrt{A + x^2}\ dx;$
  1. $-\dfrac{e^{-x^2}}{2}(x^2 + 1);$
  2. $2e^{\sqrt{x}}(\sqrt{x} - 1);$
  3. $\bigg(\dfrac{x^3}{3} - x^2 + 3x\bigg)\ln x - \dfrac{x^3}{9} + \dfrac{x^2}{2} - 3x;$
  4. $\dfrac{x^2 - 1}{2}\ln\bigg|\dfrac{1-x}{1+x}\bigg| - x;$
  5. $-\dfrac{\ln^2 x}{x} - \dfrac{2\ln x}{x} - \dfrac{2}{x};$
  6. $[\ln(\ln x) - 1]\cdot \ln x;$
  7. $\dfrac{x^3}{3}\arctg 3x - \dfrac{x^2}{18} + \dfrac{1}{162}\ln(9x^2 + 1);$
  8. $\dfrac{1 + x^2}{2}(\arctg x)^2 - x \arctg x + \dfrac{1}{2}\ln(1 + x^2);$
  9. $x(\arcsin x)^2 + 2\sqrt{1 - x^2} \arcsin x - 2x;$
  10. $\dfrac{x}{2} + \dfrac{x\cos(2\ln x) + 2x \sin (2\ln x)}{10};$
  11. $-\dfrac{\arcsin x}{x} + \ln\bigg|\dfrac{x}{1 + \sqrt{1 - x^2}}\bigg|;$
  12. $-2\sqrt{1 - x}\arcsin\sqrt{x} + 2\sqrt{x};$
  13. $-\dfrac{x}{2}\sqrt{9 - x^2} + \dfrac{9}{2}\arcsin\dfrac{x}{3};$
  14. $\dfrac{e^{-x}}{2}\bigg(\dfrac{\cos 2x - 2\sin 2x}{5} - 1\bigg);$
  15. $\dfrac{x}{2}\sqrt{a^2 - x^2} + \dfrac{a^2}{2}\arcsin\dfrac{x}{a}\ (a > 0);$
  16. $\dfrac{x\tg 2x}{2} + \dfrac{\ln|cos 2x|}{4} - \dfrac{x^2}{2};$
  17. $-\dfrac{x}{2(x^2 + 1)} + \dfrac{1}{2}\arctg x;$
  18. $\dfrac{1}{2a^2}\bigg(\dfrac{1}{a}\arctg\dfrac{x}{a} + \dfrac{x}{x^2 + a^2}\bigg);$
  19. $\dfrac{x}{2}\sqrt{A + x^2} + \dfrac{A}{2}\ln|x + \sqrt{A + x^2}|;$

Осымен сабақ аяқталды ✅

Алғашқы нұсқа тақырыптары осымен аяқталды. Алда тағы жолығамыз деген үміттеміз!

Сіз үшін.

🠜 Артқа

Кіріспе бөлім

Негізгі бөлім

!! Ақау жайлы хабар беру