Бұл жолы аудан табу есебінен бастап өте маңызды ғылыми еңбектерге дейін қолданылатын, математикада орны елеулі интеграл (лат. integer - бүтін) атты ұғыммен танысатын боламыз.
$$S_n = \sum_{i=1}^n f(c_i) \Delta x_i,\ \ \ \ c_i \in [x_{i-1}, x_i], \Delta x_i = x_i - x_{i-1}$$
суммасын анықтайық. Онда $$\int_a^b f(x) dx = \sum_{i = 1}^\infty f(c_i) \Delta x_i$$$$\begin{aligned} I = \sup \sum_{i = 1}^n m_i \Delta x_i \lrArr \Big(\forall n \in N \ \sum_{i = 1}^n m_i \Delta x_i \leqslant I\Big) \land \Big(\forall \varepsilon \gt 0 \ \exist N \in \N: \forall n \geqslant N &\rArr \sum_{i = 1}^n m_i \Delta x_i \gt I - \varepsilon \\ &\rArr\Big|\sum_{i = 1}^n m_i \Delta x_i - I\Big| \lt \varepsilon\Big) \end{aligned}$$
Яғни,$$I = \sup \sum_{i = 1}^n m_i \Delta x_i \lrArr \Big(\forall n \in N \ \sum_{i = 1}^n m_i \Delta x_i \leqslant I\Big) \land \Big(\lim\limits_{n\to\infty} \sum_{i = 1}^n m_i \Delta x_i = I\Big)$$
Мұндағы $$m_i = \inf\{f(x): x_{i - 1} \leqslant x \leqslant x_i\}$$ Осы сәтте $[x_{i-1}, x_i]$ аралықтарынан кірістірілген тізбектер құрып алуға болады, және сәйкесінше бір ғана ортақ нүктеге ие болады. Әрбір аралықтағы ортақ нүктені $c_i$ деп белгілесек, онда $f(x)$ функциясының аргументін бірден $c_i$ ретінде қарастыруға болады. Демек,$$I = \sup \sum_{i = 1}^n m_i \Delta x_i = \int_a^b f(x) dx = \sum_{i = 1}^\infty f(c_i) \Delta x_i$$
Тапсырма. Дәлелде қолданылған $$\sum_{i = 1}^n m_i \Delta x_i \gt I - \varepsilon \rArr\Big|\sum_{i = 1}^n m_i \Delta x_i - I\Big| \lt \varepsilon$$ тұжырымын дәлелдеңіз.
Сонымен, қысқасы $\int_a^b f dx = \lim\limits_{n\to\infty}\sum_{i = 1}^n f(x_i) \Delta x_i$ және мұндағы $$\begin{aligned} \Delta x_i &= (b - a)/n, \\ x_i &= a + \Delta x_i \cdot i.\end{aligned}$$ Мысал ретінде $\int_1^3 x^2 dx$ интегралының мәнін табайық: (бұл жағдайда $\Delta x_i = 2/n, x_i = 1 + 2i/n$)
$$\begin{aligned} \int_1^3 x^2 dx &= \lim\limits_{n\to\infty}\sum_{i = 1}^n f(x_i) \Delta x_i = \lim\limits_{n \to \infty}\sum_{i = 1}^n x^2_i \Delta x_i \\ &= \lim\limits_{n\to\infty}\sum_{i = 1}^n \bigg(1 + \dfrac{2}{n}i\bigg)^2\dfrac{2}{n} = \lim\limits_{n\to\infty} \sum_{i = 1}^n \bigg(1 + \dfrac{4i}{n} + \dfrac{4i^2}{n^2}\bigg) \dfrac{2}{n} \\ &= \lim\limits_{n\to\infty}\sum_{i = 1}^n \bigg(\dfrac{2}{n} + \dfrac{8}{n^2}i + \dfrac{8}{n^3}i^2\bigg) \\ &= \lim\limits_{n\to\infty} \bigg(\dfrac{2}{n} \sum_{i = 1}^n 1 + \dfrac{8}{n^2}\sum_{i=1}^n i + \dfrac{8}{n^3} \sum_{i = 1}^n i^2\bigg) = (*) \end{aligned}$$
деп бір тоқтайық. Егер $\sum_{i = 1}^n 1 = n, \ \sum_{i = 1}^n i = \frac{n(n + 1)}{2}$ және $\sum_{i = 1}^n i^2 = \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6}$ екенін ескерсек,$$\begin{aligned} (*) &= \lim\limits_{n\to\infty}\bigg[\dfrac{2}{n}n + \dfrac{8}{n^2}\cdot\dfrac{n(n + 1)}{2} + \dfrac{8}{n^3}\dfrac{n(n + 1)(2n + 1)}{6}\bigg] \\ &= \lim\limits_{n\to\infty}\bigg[\dfrac{2}{n}n + \dfrac{8}{n^2}\cdot\dfrac{n^2 + n}{2} + \dfrac{8}{n^3}\dfrac{2n^3 + n^2 + 2n^2 + n}{6}\bigg] \\ &= \lim\limits_{n\to\infty}\bigg[\dfrac{2}{\cancel{n}}\cancel{n} + \dfrac{8}{\cancel{n^2}}\dfrac{\cancel{n^2}}{2} + \dfrac{8}{n^2}\dfrac{n}{2} + \dfrac{8}{\cancel{n^3}}\dfrac{2\cancel{n^3}}{6} + \dfrac{8}{n^3} \dfrac{3n^2}{6} + \dfrac{8}{n^3}\dfrac{n}{6}\bigg] \\ &= \lim\limits_{n\to\infty}\bigg[2 + 4 + 4\cdot\textcolor{red}{\dfrac{1}{n}} + \dfrac{8}{3} + 4\cdot\textcolor{red}{\dfrac{1}{n}} + \dfrac{4}{3}\cdot\textcolor{red}{\dfrac{1}{n^2}}\bigg] = 2 + 4 + \dfrac{8}{3} = \dfrac{6 + 12 + 8}{3} = \dfrac{26}{3}.\end{aligned}$$
Енді танысатын теорема математикалық анализдің негізгі теоремасы деп аталады. Ол интеграл ұғымы мен туынды ұғымдарын байланыстыру арқылы есептеуді едәуір жеңілдетеді. Бұл теорема екі бөліктен тұрады: біріншісі интегралдардың туындысы болса, екіншісі туындылардың интегралы жайында.
Теореманың айтып тұрғанын былай да жазуға болады: $$\dfrac{d}{dx}\int_a^x f(t) dt = f(x).$$ Сәйкесінше, бұл $F$ функциясы $f$ функциясының алғашқысы екенін көрсетеді.
Егер $f(x)$ үзіліссіз функциясының $[x, x + h]$ сегментіндегі мәндеріне назар аударсақ, (жабық аралықтағы үзіліссіз функциялардың қасиеті бойынша) бұл аралықта $f$ функциясы өзінің минимум $m_h$ және максимум $M_h$ мәнін қабылдайды. Мұнда барлың $t \in [x, x + h]$ үшін $m_h \leqslant f(t) \leqslant M_h$ болғасын осы аралықта интеграл алу кезінде $$\int_x^{x + h} m_h dt \leqslant \int_x^{x+h} f(t) dt \leqslant \int_x^{x+h} M_h dt.$$ Осы кезде $\int_x^{x+h} m_h dt = hm_h$, және $\int_x^{x+h} M_h dt = h M_h$ екенін ескере отырып оларды $h$-қа бөлсек $$m_h \leqslant \dfrac{1}{h}\int_x^{x + h} f(t) dt \leqslant M_h.$$
$f$ үзіліссіз болғасын $h\to 0$ кезінде $f$-тің $[x, x + h]$ сегментіндегі мәндері $f(x)$ ке ұмтылады. Сәйкесінше минимум $m_h$ мен максимум $M_h$ да $f(x)$-ке ұмтылады. Екеуі де бір нүктеге ұмтылады екен, онда олардың арасындағы кез келген функция да сол нүктеге ұмтылады. Яғни, $$\lim\limits_{h\to 0} \dfrac{1}{h}\int_x^{x + h} f(t) dt = f(x)$$ және осылайша $F'(x) = f(x)$ екені дәлелденді.
Әдетте $F(b) - F(a)$ өрнегін $F(x) \bigg|_a^b$ арқылы қысқартып жазады. Бұл теоремада тұрған $(q)$ теңдігі Ньютон-Лейбниц формуласы деген атпен танымал.
▲ Бастапқы ұғымдар Меншіксіз интегралдар ▼
$$\lim\limits_{n\to\infty}\sum_{i = 1}^n c\cdot f(x)\Delta x_i = c\cdot\lim\limits_{n\to\infty}\sum_{i = 1}^n f(c_i) = c\cdot \int_a^b f(x) dx.$$
Яғни $c \cdot f(x)$ функциясы $[a, b]$ сегментінде интегралданады және берілген формула орындалады.$$\begin{aligned} \int_a^b (f_1(x) + f_2(x))dx &= \lim\limits_{n\to\infty} \sum_{i = 1}^n (f_1(c_i) + f_2(c_i))\Delta x_i \\ &= \lim\limits_{n\to\infty}\sum_{i = 1}^n f_1(c_i)\Delta x_i + \lim\limits_{n\to\infty}\sum_{i = 1}^n f_2(c_i)\Delta x_i \\ &= \int_a^b f_1(x) dx + \int_a^b f_2(x) dx. \end{aligned}$$
Бұл қасиет кез-келген ақырлы мөлшердегі фунцияларға орындала береді.Мұны Ньютон-Лейбниц формуласы арқылы былай дәлелдеуге болады: $$\int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a) = -(F(a) - F(b)) = -\int_b^a f(x)dx.$$
Интегралдау кезінде $[a, b]$ аралығын бірнеше бөлікке бөлеміз. Сол бөлуші сандардың бірі осы $c$ саны болсын, және ол $c = x_m$ делік. Онда интегралдық сумманы $x_m$ арқылы екіге бөлугі болады: $$\sum_{i = 1}^n f(c_i)\Delta x_i = \sum_{i = 1}^m f(c_i)\Delta x_i + \sum_{i = m}^n f(c_i)\Delta x_i.$$ Бұл теңдіктегі әрбір сумма сәйкесінше $[a, b], [a, c]$ және $[c, b]$ аралығындағы интегралдық сумма болады. Демек, $n\to\infty$ кезінде теоремадағы теңдік орындалады.
Бұл қасиет $a, b, c$ нүктелерінің кез келген реті үшін орындалады ($f$ функциясы осы нүктелерден құралатын аралықтың ең үлкенінде интегралданады деп ұйғарамыз). Мысалға, егер $a \lt b \lt c$ болса, онда $$\int_a^c f(x) dx = \int_a^b f(x) dx + \int_b^c f(x) dx.$$ Сәйкесінше, $$\int_a^b f(x) dx = \int_a^c f(x) dx - \int_b^c f(x) dx = \int_a^c f(x) dx + \int_c^b f(x) dx$$ (Әрине, мұнда жоғарыдағы қасиеттер пайдаланылды).
Мұнда да Ньютон-Лейбниц формуласы бойынша $$\int_a^b f(x) dx = F(x) \bigg|_a^b = F(b) - F(a),$$ мұндағы $F'(x) = f(x)$. Мұндағы $F(b) - F(a)$ айырымына Лагранж теоремасын қолдансақ, $$F(b) - F(a) = F'(c) \cdot (b - a) = f(c) \cdot (b - a).$$
Пайда болған $$\boxed{f(c) = \dfrac{1}{b-a}\int_a^b f(x)dx}$$ саны $f(x)$ функциясының $[a, b]$ аралығындағы орташа мәні деп аталады.
$$f(x) \geqslant 0\ \forall x \in [a, b] \rArr \int_a^b f(x) dx \geqslant 0,$$
және сол секілді $$f(x) \lt 0\ \forall x \in [a, b] \rArr \int_a^b f(x) dx \lt 0.$$Жоғарыдағы "орташа мән жайлы теорема" бойынша $$\int_a^b f(x) dx = f(c) \cdot (b - a),\ \ \ c \in [a, b].$$ Мұнда бүкіл $x \in [a, b]$ кезінде $f(x) \geqslant 0$ болғасын $$f(c) \geqslant 0, b - a > 0.$$ Сәйкесінше, $f(c) \cdot (b - a) \geqslant 0$, яғни $$\int_a^b f(x) dx \geqslant 0.$$
$$f_1(x) \leqslant f_2(x) \ \forall x \in [a, b] \rArr \int_a^b f_1(x) dx \leqslant \int_a^b f_2(x) dx.$$
Теңсіздік заңдылығы бойынша $f_2(x) - f_1(x) \geqslant 0$ болғасын $a \lt b$ кезінде $$\begin{aligned} &\int_a^b (f_2(x) - f_1(x)) dx \geqslant 0. \\ &\int_a^b f_2(x) dx - \int_a^b f_1(x) dx \geqslant 0, \end{aligned}$$ және сәйкесінше, $$\int_a^b f_1(x) dx \leqslant \int_a^b f_2(x) dx.$$
Кез-келген $x \in [a, b]$ кезінде $m \leqslant f(x) \leqslant M$ болғасын, $$\int_a^b m dx \leqslant \int_a^b f(x) dx \leqslant \int_a^b M dx.$$ және сәйкесінше $$m(b - a) \leqslant \int_a^b f(x) dx \leqslant M(b - a).$$
$-|f(x)| \leqslant f(x) \leqslant |f(x)|$, теңсіздігінен $$-\int_a^b |f(x)| dx \leqslant \int_a^b f(x) dx \leqslant \int_a^b |f(x)| dx.$$ Сонда, $$\bigg|\int_a^b f(x) dx\bigg| \leqslant \int_a^b |f(x)| dx.$$
Ньютон-Лейбниц формуласы бойынша $$\int_a^x f(t) dt = F(t)\bigg|_a^x = F(x) - F(a).$$ Сәйкесінше, $$\bigg(\int_a^x f(t) dt\bigg)_x' = (F(x) - F(a))'_x = F'(x) - 0 = f(x).$$
Берілген $\int_a^b f(x) dx$ интегралы үшін үзіліссіз функция бойынша $x = \varphi(t)$ ауыстыруы орындалған болсын.
$$\int_\alpha^\beta f(\varphi(t)) \cdot \varphi'(t) dt = F(\varphi(t))\bigg|_\alpha^\beta = F(\varphi(\beta)) - F(\varphi(\alpha)) = F(b) - F(a) = \int_a^b f(x) dx.$$
$$\begin{aligned} \int_0^2 x^2\sqrt{4 - x^2} dx &= \int_0^{\pi/2} 4\sin^2 t\sqrt{4 - 4\sin^2 t}\cdot 2\cos t dt \\ &= 16 \int_0^{\pi/2} \sin^2 t \cos^2 t dt = 16 \int_0^{\pi/2} \dfrac{1}{4}\sin^2 2t dt \\ &= 4 \int_0^{\pi/2} \dfrac{1}{2}(1 - \cos 4t) dt \\ &= 2\bigg(t\bigg|_0^{\pi/2} - \dfrac{1}{4}\sin 4t \bigg|_0^{\pi/2}\bigg) = 2\bigg(\dfrac{\pi}{2} - 0\bigg) = \pi. \end{aligned}$$
Теорема. Кез-келген $[a, b]$ аралығында үзіліссіз туындыларға ие $u = u(x)$ және $v = v(x)$ функциялары үшін $$\int_a^b u dv = uv|_a^b - \int_a^b vdu.$$
$$\begin{aligned} \int_a^b v\cdot u' dx &+ \int_a^b uv' dx = uv\bigg|_a^b \rArr \\ &\rArr \int_a^b v du + \int_a^b u dv = uv\bigg|_a^b \rArr \int_a^b u dv = uv\bigg|_a^b - \int_{a}^b v du. \end{aligned}$$
$$\begin{aligned} \int_1^e x \ln x dx &= \dfrac{x^2}{2} \cdot \ln x |_1^e - \int_1^e \dfrac{x^2}{2}\cdot\dfrac{1}{x} dx \\ &= \dfrac{e^2}{2} - 0 - \dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{x^2}{2}\bigg|_1^e = \dfrac{e^2}{2} - \dfrac{e^2}{4} + \dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{4}(e^2 + 1).\end{aligned}$$
$$\int_0^\pi x \sin x dx = -x \cos x |_0^\pi + \int_0^\pi \cos x dx = -\pi \cdot (-1) + 0 + \sin x |_0^\pi = \pi.$$
Бұл интегралдардың өзгеше бір түрі. Негізгі екі түрге бөлінеді: бірінші түрдегі және екінші түрдегі.
Және, сәйкесінше
Анықтамадағы шектердің ақырлы шектері бар болса, онда берілген меншіксіз интегралдар жинақталады деп айтылады. Енді интегралдау жиектерінің екеуі де шексіздік болған жағдайды қарастырайық.
$$\int_1^{+\infty} \dfrac{dx}{x^2} = \lim\limits_{b \to +\infty} \int_1^b x^{-2} dx = -\lim\limits_{b\to +\infty} \dfrac{1}{x} \Big|_1^b = - \lim\limits_{b\to +\infty}\Big(\dfrac{1}{b} - \dfrac{1}{1}\Big) = -(0 - 1) = 1,$$
демек интеграл жинақталады;Меншіксіз интегралдардың екінші түріне мыналар жатады:
Бұл парақша(тақырып) әлі толықтырылу үстінде...
Осымен сабақ аяқталды ✅