Математика - нақты ғылым. Мұнда әр нәрсенің логикалық қисыны болуы шарт. Негізсіз тұжырымдарға орын жоқ. Міне, қазір осы жайттарға жауапты "математикалық логика" деген саламен танысамыз.
Сонымен, алғашқы танысатын ұғымымыз
Ақиқат не жалған деп айтуға болатын сөйлемдерді тұжырым дейміз.
Тұжырымды әдетте кіші латын әріптерімен, ал олардың ақиқаттылығы мен жалғандығын сәйкесінше 1 және 0 арқылы белгілейміз. $|a| = 1$ жазуы арқылы $a$ тұжырымының ақиқат екендігін; ал $|b| = 0$ жазуы арқылы $b$ тұжырымының жалған екендігін көрсетеміз.
Мысалға:
Егер $a = $ «Алматы қаласында бес қабатты үйлер бар» болса, онда $|a| = 1$.
Егер $b = $ «Күн - бізге ең жақын жұлдыз» болса, онда $|b| = 1$.
Егер $c = $ «Мыс ең қатты металл» болса, онда $|c| = 0$.
Ал тұжырым бола алмайтын мәлімдемелерге келер болсақ, олар: сұраулы, хабарлы, лепті, анық емес және толық емес сөйлемдер. Мысалы «жасыңыз нешеде?», «біз келдік!», «ертеңнен бастап оқимын», «$n > 2$ (эн екіден үлкен)» сөздерін алайық. Бұл сөйлемдерде ақиқат пен жалған жайлы ештеңе айтылып тұрған жоқ. Ал соңғы мысалда $n$ - нің қаншаға тең екендігі белгісіз. Сол себепті оларды не ақиқат, не жалған дей алмаймыз.
Тұжырымдар мынадай түрлерге бөлінеді: аксиома, пастулат, теорема, лемма, салдар, қасиет, заңдылық. Аксиома дәлелсіз, бірден ақиқат ретінде қабылданатын тұжырым (геометрияда аксиома сөзінің орнына пастулат деген атау қолданылады). Ал қалғандары дәлелдеуді қажет ететін тұжырымдар. Теорема өте маңызды тұжырым, ал лемма осы секілді тұжырымдарды дәлелдеуге қолданылатын тұжырым. Теорема арқылы пайда болатын тұжырымдарды салдар дейміз.
Айтпақшы, анықтама мен аксиома екеуінің арасындағы қызық бір байланыс бар. Бір нәрсеген қандай да бір анықтама берсеңіз оны дәлелдеудің қажеті жоқ, осы ретте ол аксиомаға қатты ұқсап кетеді.
▲ Тұжырымдар Дәлелдеу жайында ▼
Тұжырымдармен жұмыс істеуге арналған белгілерді логикалық белгілер деп атаймыз.
Логикалық белгілер математикалық сөйлемдерді (анықтамалар, теоремалар, т.б) ықшамдап жазуға мүмкіндік береді.
Сандарға арифметикалық әрекеттер орындалатынындай, тұжырымдарға да оларды байланыстыратын логикалық символдар арқылы өздерінің амалдары жүзеге асады. Олардың негізгілері мыналар: кері тұжырымдау, коньюнкция, дизьюнкция, импликация.
Бұл амалдарды түсіндіру үшін әуелі қандай да бір екі тұжырым құрап алайық: $a - $"тасбақа жирафтан жылдамырақ жүреді", $b -$ "піл тасбақадан ауыр" болсын. Өздеріңіз білетіндей, мұнда $|a| = 0, |b| = 1.$ Ал енді таныстықты бастайық!
ПАЙДАЛЫ КЕҢЕС! Жоғарыдағы $\land$ мен $\lor$ символын шатастырып алмас үшін мынадай ой ойласаңыз болады: $\land$ символы ағылшын тіліндегі 'And' - «және» сөзіндегі A әріпіне ұқсайды. Және бұл символдарды ауызекі тілде айтқанда $\land$ символын - "коньюнкция белгісі", ал $\lor$ символын - "дизьюнкция белгісі" деп атасаңыз болады.
$A \rArr B$ импликациясының
синонимдік мағыналары:
Мысалы: $A\rArr B$ жазуы "$А$ тұжырымы арқылы $В$ тұжырымы шығады" деген мағына береді. Импликация амалы алғышарты ақиқат, ал салдары жалған болғанда ғана (яғни, тек $0 \rArr 1$ болғанда ғана) жалған болады. Мағынасы мынада: Ақиқаттан тек ақиқат қана шыға алады. Ал жалғаннан кез келген нәрсе шығуы мүмкін. Кейде символдар теріс бағытта қолданыла береді. Мысалы кері импликация $\lArr$. Жоғарыда айтылғандай, бағыттама қай кезде де салдарға бағытталады. Яғни, тек солдан оңға бағытталады деп тұрған жоқ. Бұл кезде жәй ғана: 'салдары $\lArr$ алғышарт' болып тұр. Кейде «салдар» сөзінің орнына «қорытынды» сөзі де қолданылып тұрады.
Демек Импликация арқылы айтылған пайымды келесідей тәсілмен баяндауға болады:
Қарапайым математикадан белгілі $\times ÷ + \space -$ амалдары дәл осы қатар бойынша орындалатыны секілді логикалық символдардың да орындалу реті бар. Ол мынадай: $\neg \land \lor \rArr \Harr$. Мұның көмегімен тұжырымдарға жақшаны қоюдың да қажеті болмай қалады.
Мысалы $(((\neg A) \land B) \lor C) \rArr D$ тұжырымын $\neg A \land B \lor C \rArr D$ деп те жазуға болады.
Осы орайда қазірге дейін білген белгілер арқылы ақиқат кестесі деп аталатын кестені құрғанда мынадай нәтиже аламыз:
| $a$ | $b$ | $\neg a$ | $a\land b$ | $a \lor b$ | $a \rArr b$ | $a\lrArr b$ |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 |
Кейбір тұжырым емес сөйлемдерді белгілеуге арналған логикалық белгілер бар. Мысалға, $\therefore$ - сондықтан, $\because$ - себебі белгілері. Бұдан бөлек, дәлел кезінде "дәлел аяқталды" мағынасында $\rule{13mu}{12mu}$ белгісі қолданылады. Ал енді кванторлар деп өте жиі қолданылатын мына екі белгіні айтамыз:
Жалпы, ғылым ғылым бола алуы үшін мәліметтері ақиқаттарға негізделуі қажет. Сондықтан ғылыми әңгіме айтып жатқанда әр сөзіңіздің ақиқат екеніне сенімді болуыңыз қажет, және басқалар да сенімді болуы қажет. Бұл үшін дәлел жасалады. Мұнсыз болмайды. Дәлелденбеген тұжырым құр қауесет.
Тұжырымның ақиқат екенін көрсетуді дәлелдеу дейміз.
Дәлелдеулер жалпы жағдайларды қарастырады. Мысалға "кез келген екі санның қосындысы жұп сан" немесе "кез келген екі санның айырымы оң сан" деген қате тұжырымдар үшін осы тұжырымдар дұрыс болатындай шексіз көп мысал келтіруге болады. Бірақ оған бір ғана қайшымысал келтіру арқылы қате екендігін дәлелдей аламыз. Яғни, ол тұжырым орындалуы мүмкін, бірақ жалпы жағдай үшін емес.
Дәлелдеуге «түсінікті ғой», «мұны дәлелдейтін несі бар, ап-анық нәрсе ғой», «қате болса өзім жауап берем», «интуициям дұрыс деп тұр», «нан ұрсын», «құдай көріп тұр», «дастархан тұр» сияқты т.б. ауызша дәлелдеулер жарамайды. Жөні түзу дәлелдеу былай болады:
Дәлеледейтін дүниелер әртүрлі болады. Сол себепті дәлелдеу сізден шеберлікті талап етеді. Егер қисынын тапсаңыз атақты гипотезаларды дәлелдесеңіз болады. Ризашылық ретінде $\$ 1 \text{M}$ тігілгендері де бар.
Дәлелдеу кезінде қолданыстағы классикалық түрі мынадай: егер $A$ ақиқат және $A\rArr B$ болса, онда $B$ да ақиқат. Бірінші дәлелдеу тәсілі осының жалпы түрі.
«тақ санның квадраты тақ сан» деген тұжырымды дәлелдейік. Бізде $n$ деген сан тақ болсын. Анықтама бойынша бұл санды қандай да бір $k$ бүтін саны арқылы $$n = 2k + 1$$ деп өрнектеуге болады. Онда $$\begin{aligned} n^2 &= (2k + 1)^2 \\ &= (2k + 1)(2k + 1) \\ &= 4k^2 + 2k + 2k + 1 \\ &= 4k^2 + 4k + 1 \\ &= 2(2k^2 + 2k) + 1.\end{aligned}$$ Демек, $2k^2 + 2k$ саны да бүтін сан болғасын, $n^2$ та тақ болғаны.
«тақ сан мен жұп санның қосындысы тақ сан» деген тұжырымды дәлелдейік. Кері тұжырым «тақ сан мен жұп санның қосындысы тақ сан болмайды». $n$ тақ сан, ал $m$ жұп сан болсын, онда тұжырым бойынша $n + m = 2p + 1$ болатындай $p$ саны табылмайды. Сонымен, екі санды қосып көрейік: $n + m = 2k + 2h + 1 = 2(k + h) + 1$. Мұнда қосындыны $2p + 1$ түріне келтіретін $p = k + h$ саны табылып тұр. Демек $n + m$ тақ сан. Ал бұл біздің кері тұжырымға қарсы, демек бастапқы тұжырым дұрыс.
$$(A(1)\land(A(k) \rArr A(k+1)\ \forall k\in\N)) \rArr (A(n)\ \forall n\in\N).$$
Бұл әдіс көбіне теңдіктер немесе теңсіздіктерді дәлелдеуге қолданылады. Сонымен, бұл дәлел екі қадамнан тұрады:$$\begin{aligned} 1 + 2 + ... + k + (k+1) &= \dfrac{k(k+1)}{2} + (k + 1) \\ &= \dfrac{k(k+1) + 2(k+1)}{2} = \dfrac{(k+1)(k+2)}{2} \\ &= \dfrac{(k+1)((k+1) + 1)}{2}.\end{aligned}$$
яғни берілген формула кез келген сан үшін және одан кейінгі сан үшін де орындалады.«егер $x^2$ жұп сан болса, онда $x$ те жұп сан болады» тұжырымын «егер $x$ жұп болмаса, онда $x^2$ та жұп емес» тұжырымын дәлелдеу арқылы дәлелдейміз. $x$ жұп емес сан болсын, демек ол жұп сан. Екі тақ санның көбейтіндісі тақ сан болатынын ескерсек, онда $x\cdot x = x^2$ саны да тақ. Демек $x^2$ жұп емес. Кері тұспалы дәлелденгендіктен бастапқы тұжырым ақиқат болады.
Бұл тәсілдердің пайдалану ауқымы едәуір кең. Есіңізде болсын, жол әртүрлі болса да ақиқат әрқашан біреу. Яғни, «қайсы тәсіл дұрыс нәтижеге апарады» деген күмәнді сұрақ негізсіз. Мәселе қайсысының тиімдірек екендігінде.
Алдағы уақытта ұсынылған дәлелдерді «бұл әлдеқашан дәлелденіп қойылған нәрсе ғой» деп елеусіз қалдырмаңыз. Мән беріңіз: қалай дәлелдеген, қандай тәсіл қолданған, қандай мәнермен дәлелденген. Ұсынылған дәлелден басқа тәсілмен дәлелдеп көріңіз. Басқаша тәсіл әрқашан табылады. Мәселен, бір ғана Пифагор теоремасының өзі 400-ден аса тәсілмен дәлелденген.
Осымен сабақ аяқталды ✅