Қандай да бір (бос емес) $X$ және $Y$ жиындары берілсін. $X$ жиынының әрбір $x$ элементін $Y$ жиынының тек бір ғана $y$ элементімен сәйкестендіретін $f$ заңдылығы функция деп аталады да $y = f(x)$ деп жазылады.
$x \in X$ мәнінің өзгеруі кезінде $y = f(x) \in Y$ мәні де өзгеріп отырады. Сол себепті де болар, $y$ - тәуелді айнымалы, ал $x$ - тәуелсіз айнымалы, яки функцияның аргументі деп аталады.
Сол секілді, $X$ жиыны $f$ функиясының анықталу облысы деп аталады да $D(f)$ деп белгіленеді. Ал барлық $y = f(x) \in Y$ элементтерінің жиыны $X$ жиынының $Y$ жиынындағы бейнесі деп аталады да $f(X)$ деп белгіленеді. Ал осы мәндер жиыны орналасқан $Y$ жиыны мәндер жиыны деп аталады да $E(f)$ деп белгіленеді.
| Атауы | Ағылшынша | Белгіленуі | Мағынасы | Символдар арқылы | |
| $1$ | Анықталу облысы | Domain [домеин] | $D(f)$ | $f$ функциясы өзіне мәндерін алатын жиын, яки $f$ функциясына мәндер беретін жиын | $D(f) = \{x: f(x) \in f(X)\}$ |
| $2$ | Мәндер облысы | Codomain [кодомеин] | $E(f)$ | $f$ функциясының мәндері жататын орын | $E(f) = f(X) \cup (Y/f(X))$ |
| $3$ | Бейнесі | Range [рейндж] | $f(X)$ | $f$ функциясының $Y$ жиынындағы мәндерінің жиыны. | $f(X) = \{y \in Y: y = f(x)\}$ |
| $4$ | Алғашқы бейнесі | Preimage [преймейдж] | $f^{-1}(Y)$ | $X$ жиыны $Y$ жиынының алғашқы бейнесі | $f^{-1}(Y) = \{x \in X: f(x) \in Y\}$ |
$f: E \to K$ функциясының графигі деп $$G(f) = \{(x, f(x)): x \in E, f(x) \in K\}$$ жиынын айтамыз. Демек, $G \sub E \times K$. Бұл жиынды сурет ретінде салуға болады. Ол үшін әр элементін декарттың координаттағы сәйкес нүктеде белгілеу қажет. Сонда әр функцияның көзге көрінетін сипаттамалық нұсқасы пайда болады.
Функцияны жоғарыдағы анықтамада келтірілгендей $y = f(x)$ деп белгілеуден басқа мынадай да жазылу түрлері бар: $$f:X \to Y, \space X\xrightarrow{f}Y, \space x \mapsto f(x),\space x \mapsto y,$$ Бұдан бөлек, функцияның бейнесін $f(X)$ жазуынан басқа $\text{Im} f$ деп те белгіленеді.
Сонымен, функция бір мәнді тек бір мәнмен сәйкестендіреді екен. Дегенмен бірнеше $x \in X$ мәні бір ғана $y \in Y$ мәнімен сәйкесуі мүмкін. Мысалы $f(x) = x^2$ функциясында $X$ жиынының 1 және -1 сандары $Y$ жиынының 1 мәнімен байланысады. Және функция мәндер табылатын жиынның барлық элементін қамтымауы мүмкін. Мысалы жоғарыдағы мысалда кез келген сан $Y$ жиынындағы оң сандармен ғана байланысады, Яғни теріс сандар қатыспайды.
Егер $f_1$ және $f_2$ функцияларының анықталу облыстары бірдей әрі сол анықталу облысындағы кез келген $x$ элементінде $f_1(x), f_2(x)$ функцияларының мәндері сәйкессе, яғни $f_1(x) = f_2(x)$ болса, онда бұл екеуі өзара тең функциялар деп аталады да $f_1 = f_2$ деп белгіленеді.
Қандай да бір $X$ жиынында анықталған және әрбір $x \in X$ элементін өзіне бейнелейтін функцияны бірлік функция деп атаймыз және $e_X: X\to X$ деп белгілейміз.
$f:X \to Y$ функциясы берілген болсын.
1.
Бір элементке тек бір ғана элементті сәйкестендіретін функция иньективті функция деп аталады.
Қысқаша: $$\forall x_1, x_2 \in X, x_1 \neq x_2 \rArr f(x_1) \neq f(x_2),$$
яки
$$\forall x_1, x_2 \in X, f(x_1) = f(x_2) \rArr x_1 = x_2.$$
2.
$X$ жиынының елементтерін $Y$ жиынының барлық елементімен байланыстыратын функция сюрьективті функция деп аталады.
Яғни, бұл жағдайда функцияның мәндер облысы мен мәндер жиыны тең болады.
Қысқаша:
$$\forall y \in Y \ \exist x \in X: f(x) = y.$$
3.
Егер Функция иньективті әрі сюрьективті болса, яғни әрбір елементті
тек бір елементпен ғана сәйкестендіріп, нәтижеде екі жиында да ешқандай сәйкестендірілмеген
елемент қалмайтын болса, онда бұл функция биективті функция деп аталады.
Қысқаша:
$$\forall y \in Y \ \exist! x \in X: f(x) = y$$
(мұндағы $\exist !$ белгісі «тек біреу ғана табылса» деген мағына береді).
Егер анықтаманы қазбалайтын болсақ біршама шарттарды тауып алуға болады. Мысалға $g\circ f$ функциясы анықталуы үшін $g$ функциясы $f$ функциясының мәндер облысында анықталған болуы, яғни $D(g) \sub E(f)$ болуы қажет. Бұдан бөлек $D(g\circ f) = \text{Im} f \cap D(g)$ және $\text{Im} g\circ f = g(E(f) \cap D(g))$ екендігін де аңғаруға болады.
Екі не одан да көп функцияның композициясынан құралған функцияны күрделі функция деп атаймыз.
Яғни, күрделі функция дегеніміз аргументі функция болатын функция. Күрделі функцияның аргументіндегі функцияны аралық аргумент деп атаймыз. Күрделі функцияның қанша функциядан құралғанына байланысты аралық аргумент те бірнешеу болуы мүмкін.
Араларында $f\circ g$ және $g\circ f$ композициялары анықталатын $f: X\to Y$ және $g: Y \to X$ функциялары берілген болсын. Егер $f\circ g = e_Y$, онда $f$ функциясы $g$ функциясына сол жақ кері функциясы деп, ал $g$ - $f$ - ке оң жақ кері функция деп аталады. Кез келген ретте көбейтінді бірлік функция болса: $$\tag{1} f\circ g = e_Y, \ g\circ f = e_X,$$ онда $g$ функциясы $f$ - ке екіжақты кері (немесе жәй кері) функция деп (ал $f$ $g$ - ге кері функция деп) аталады да $f^{-1}$ деп белгіленеді.
Ескерту: $f^{-1}(x)$ жазуы мен $(f(x))^{-1}$ белгілері екі түрлі мағына береді. $f^{-1}$ белгісі кері функция, ал $(f(x))^{-1}$ белгісі $$(f(x))^{-1} = \dfrac{1}{f(x)}$$ мағынасын береді.
Кері функция жалғыз.
Қандай-да бір $$\tag{1'} f\circ g' = e_Y, \ g'\circ f = e_X,$$ жағдайына сай келетін тағы бір $g': Y \to X$ функциясы бар делік. Онда $(1), (1')$ теңдіктері мен қасиет 1 - ге сүйене отырып мына нәтижені аламыз: $$g' = e_X \circ g' = (g\circ f)\circ g' = g\circ (f\circ g') = g\circ e_Y = g.$$ Демек, $f$ - ке екіжақты кері функция бар болса, онда ол жалғыз.
Сол үшін де кері функциясы табылатын кез келген $f$ функциясының керісін $f^{-1}$ деп белгілеу өте орынды.
Лемма. Егер қандай да бір $$f: X \to Y, g: Y \to X$$ функциялары үшін $g\circ f = e_X: X \to X$ болса, онда $f$ иньективті, ал $g$ сюрьективті функция.
Егер $x_1, x_2\in X$, онда
$$\begin{aligned}
(f(x_1) = f(x_2)) \rArr x_1 &= e_X(x_1) \\
&= (g\circ f)(x_1) = g(f(x_1)) \\
&= (g\circ f)(x_2) = e_X(x_2) = x_2,
\end{aligned}$$
әрі
$$\begin{aligned}
(x_1 \neq x_2) &\rArr (e_X(x_1) \neq e_X(x_2)) \\
&\rArr (g\circ f)(x_1)\neq(g\circ f)(x_2) \\
&\rArr g(f(x_1)) \neq g(f(x_2)) \\
&\rArr f(x_1)\neq f(x_2).
\end{aligned}$$
Демек, $f$ инъективті.
Ал егер, $x$ - $X$ жиынындағы кез келген элемент болса, онда
$$x = e_X(x) = (g\circ f)(x) = g(f(x)),$$
яғни $g$ сюръективті.
Теорема 2. Функцияның кері функциясы бар болуы үшін оның биективті болуы қажетті және жеткілікті.
Теорема. Функцияның $X$ жиынында кері функциясы бар болуы үшін оның осы жиында қатаң бірсарынды болуы қажетті және жеткілікті.
Яғни,
Қорытынды: (Нақты сандар жүйесінде) биективті = қатаң бірсарынды = кері функциясы бар.
Егер кез келген $x\in E$ үшін $f(x) < C$ болатын $C$ саны табылса, онда $f: E \to \R$ функциясы жоғарыдан шенелген функция деп аталады. Сол секілді, егер кез келген $x \in E$ үшін $f(x) > C$ болатындай $C$ саны табылса, онда $f: E \to \R$ функциясы төменнен шенелген функция деп аталады.
Бір қарағанда 'функцияның супремумы' сөйлемшесінде қайшылық бар сияқты, өйткені функция деген ереже, ал супремум ұғымын біз тек қана нақты сандар жиыны үшін қолданамыз дедік. 'Функцияның супремумы' деген 'Нақты мәнді функцияның мәндерінен құрылған жиынның супремумы' сөйлемінің қысқаша айтылуы.
Сонымен, $X$ жиынында анықталған $f$ нақты мәнді функциясы берілген болса, онда $f$ функциясының $X$ жиынында қабылданған мәндерінен құрылған нақты сандар жиынының супремумы мен инфимумы сәйкес $f$ функциясының супремумы мен инфимумы деп аталады да, сәйкесінше $\sup f, \displaystyle\sup_X f, \displaystyle\sup_{x\in X} f(x)$ және $\inf f, \displaystyle\inf_X f, \displaystyle\inf_{x\in X} f(x)$ символдарымен белгіленеді.
Осымен сабақ аяқталды ✅
Кіріспе бөлім осымен аяқталды және келесі беттен бастап анализдің бастапқы тақырыптары ұсынылады.