Үзіліссіздік - функцияны қолдану кезінде ерекше мүмкіндіктерге жол ашатын қасиет. Сондықтан да функцияның үзілісті, не үзіліссіз екенін зерттеу маңызды дүние. Әрине, қарапайым жағдайда функциялардың графиктеріне үңілер болсақ кейбірі карандашты еш үзбестен, үзіліссіз сызық күйінде салынады, мысалға: $kx + b,\ \sin x, \ \cos x$ секілді функциялардың графиктері. Ал кейбірінің графиктері бірнеше бөлікке бөлінген сызық күйінде болады, мысалға: $\dfrac{1}{x}, \tg x$ секілді функциялар. Мінеки, осылайша функциялардың қайсысы үзілісті (қай нүктеде), қайсысы үзіліссіз екенін ажыратуға болатындай көрінеді. Алайда көзбен көру дәлел бола алмайды, әрі бұл өте сенімсіз. Біз мұнда нақты дәлелдер арқылы функциялардың үзілісті не үзіліссіз екенін анықтауды үйренеміз.
Анықтама. $y = f(x)$ функциясы $p$ нүктесінде және осы нүктенің қандай да бір маңайында анықталған делік. Егер $$\lim\limits_{x\to p}f(x) = f(p)$$ болса, онда бұл функции $p$ нүктесінде үзіліссіз деп аталады.
Берілген теңдік үш шарттың орындалуын білдіреді:
Осы үш шарттың кем дегенде біреуі орындалмаса, онда үзіліссіздік қасиеті бұзылады. Егер функцияның нүктедегі үзіліссіздігіне шектің анықтамасын тікелей пайдалансақ, яғни жоғарыдағы анықтаманы барынша ашып жазсақ мынадай анықтама аламыз:
Анықтама. Қандай да бір $p$ нүктесінде және осы нүктенің маңайында анықталға $f$ функциясы берілген делік. Егер кез келген $\varepsilon > 0$ саны үшін $$\tag{*}|x - p| < \delta \rArr |f(x) - f(p)| < \varepsilon$$ жағдайы орындалатындай $\delta > 0$ саны табылатын болса, онда $f$ функциясы $p$ нүктесінде үзіліссіз деп аталады.
Бұл мазмұндағы анықтама үзіліссіздіктің $\varepsilon - \delta$ (эпсилон-дельта) түріндегі анықтамасы деп аталады.
Байқасаңыз, әшейінде функцияның $p$ нүктесіндегі шегі жайлы айтқан кезде $p$ нүктесінің өзін қарастырмаймыз. Яғни функция $p$ нүктесінде анықталмаған болуы да мүмкін болатын. Ал, үзіліссіздікте $|f(x) - f(p)| < \varepsilon$ шарты арқылы функцияның $p$ нүктесінде анықталған болуы талап етіліп тұр.
Функцияның үзіліссіздігін дәлелдеу шекті дәлелдеуге өте ұқсас болғандықтан мысалдардың мөлшері аз. Дәлелдеу үшін $(*)$ шарты орындалатын $\delta$ табылатындығын көрсету жеткілікті. Бірақ бұл дәлелдеудің бір жолы ғана екенін есіңізден шығармаңыз.
Мысал 1. $x$ функциясының кез келген нүктеде үзіліссіз екендігін дәлелдеңіз.
Дәлелі:Біз кез келген $k$ нүктесі үшін $\lim\limits_{x\to k}x = k$ екенін көрсетуіміз керек. Бұл мысалда $f(x) = x$. К.к $\varepsilon > 0$ санын алайық. $|f(x) - f(k)| = |x - k|$ болғасын, $\delta = \varepsilon$ деп алсақ, $(*)$ шарты орындалатынын көреміз. Демек $x$ функциясы кез келген нүктеде үзіліссіз.
Мысал 2. $c$ тұрақты функциясы берілген делік. Кез келген $k$ үшін $\lim\limits_{x\to k}c = c$ екенін дәлелдеңіз.
Дәлелі:к.к $\varepsilon > 0$ санын алайық. Кез келген $x$ кезінде $|f(x) - c| = |c - c| = 0 < \varepsilon$ болғасын, $\delta$ саны ретінде к.к санды алуға болады.
Енді дәлелдеудің жеңілірек түрін қарастырайық. Осы жолы үзіліссіздіктің ең бірінші анықтамасын қолданамыз. Қандай да бір $f(x)$ функциясы берілген болсын. Бұл функцияның $p$ нүктесінде үзіліссіз екенін дәлелдеу үшін үш қадам жасалады:
Мысал 3. $\cos x$ функциясының $0$ нүктесінде үзіліссіз екенін көрсетіңіз.
Дәлелі:Егер $f$ функциясының анықталу облысы $[a,b]$ сегменті болған жағдайда $a$ және $b$ шеткі нүктелерінде функцияны үзіліссіз деп айта алмаймыз. Бірақ жалпы анықтаманы сәл өзгерту арқылы сол жақ не оң жақтан үзіліссіз екендігін зерттеуге мүмкіндігіміз бар.
$$\forall \varepsilon > 0\ \exist \delta > 0: \forall x \in (p - \delta, p] \rArr |f(x) - f(p)| < \varepsilon$$
жағдайы орындалса, онда $f$ функциясын $p$ нүктесінде сол жақтан үзіліссіз деп айтамыз.$$\forall \varepsilon > 0\ \exist \delta > 0: p \leqslant x < p + \delta \rArr |f(x) - f(p)| < \varepsilon$$
жағдайы орындалса, онда $f$ функциясын $p$ нүктесінде оң жақтан үзіліссіз деп айтамыз.немесе былай қайыруға болады:
Әрине, біржақты үзіліссіздік ұғымы аралықтың шеткі нүктелеріне ғана емес, кез келген нүкте үшін қолданылады, бірақ $[a, b]$ сегментінде анықталған $f$ функциясының $a$ нүктесінде тек қана оң жақты, ал $b$ нүктесінде тек қана сол жақты үзіліссіздігі туралы айтуға болады.
$\sqrt{x}$ функциясы $0$ нүктесінде оң жақтан үзіліссіз, н.а. $\lim\limits_{x\to 0+}\sqrt{x} = 0$ екендігін көрсетіңіз.
Кез келген $\varepsilon > 0$ санын аламыз. Сонда $$0 < x < \varepsilon^2 \rArr |\sqrt{x} - 0| = \sqrt{x} < \varepsilon,$$ осыдан ақ делта ретінде $\delta = \varepsilon^2$ алуға болатыны көрініп тұр. Тұжырым дәлелденді.
▲ Бастапқы ұғымдар ▼ Үзілісті функциялар
Егер $f$ функциясы $X$ жиынында анықталып, оның әрбір нүктесінде үзіліссіз болса, онда $f$ функциясы $X$ жиынында үзіліссіз дейді де, $f \in \mathcal{C}(X)$ немесе $f(x) \in \mathcal{C}(X)$ символдарымен белгілейді. Мұндағы $\mathcal{C}$ ағылшын тіліндегі үзіліссіз - continuous - сөзінің екінші әрібінің алдында тұрған әріп. Яғни, $\mathcal{C}(X)$ жиыны $X$ жиынында анықталған және осы жиында үзіліссіз болатын барлық $f$ функцияларынан құралған.
Егер $f$ функциясы $(a, b)$ интервалында анықталып оның әрбір нүктесінде үзіліссіз болса, онда бұл функция осы интервалда үзіліссіз деп аталады. Ал $[a, b]$ сегментінде үзіліссіз деген атқа ие болу үшін әуелі $(a, b)$ интервалында үзіліссіз болуы және $a$ мен $b$ нүктелерінде сәйкесінше оң жақты және сол жақты үзіліссіз болуы қажет.
Жалпы, функцияның үзіліссіздігі жайлы айтқан кезде, оның қай жерде үзіліссіз екенін көрсету маңызды. Егер айтылмаса ол функцияны анықталу облысында үзіліссіз деп танимыз.
Егер біреу «$f$ функциясының $X$ жиынында үзіліссіздігін көрсет» десе мына үш қадамды жасайсыз:
Көп жағдайда тапсырманың «$X$ жиынында анықталған $f$ функциясының» деген тіркесінен ақ бірінші қадамды жасаудың мағынасы болмайды.
Бұл ұғым жиындағы үзіліссіз функцияларға қатысты түсінік. Мына екі анықтаманың айырмашылығын байқауға тырысып көріңіз:
Анықтама. $X$ жиынында анықталған $f$ функциясы берілген делік. Егер әрбір $\varepsilon > 0$ және әрбір $p \in X$ үшін $$x\in X, |x - p| < \delta \rArr |f(x) - f(p)| < \varepsilon$$ болатындай $\delta(\varepsilon, p) > 0$ саны табылса, онда $f$ функциясы $X$ жиынында үзіліссіз деп айтамыз.
$$\forall \varepsilon > 0\ \exist \delta > 0: (\forall p_1, p_2 \in X : |p_1 - p_2| < \delta)\rArr |f(p_1) - f(p_2)| < \varepsilon$$
Яғни, егер үзіліссіздік жағдайында $\delta$ саны тек $\varepsilon$-ға тәуелді болса, онда бірқалыпты үзіліссіз дейміз. Бірқалыпты үзіліссіздік ұғымы жәй ұғым емес. Мұның да терең түкпірлері көп. Десе де оны жоғары математикада байқарсыз. Бұл жерге жәй, естігенде таңсық дүниедей жәйбірақат, орнықты күйде қабылдауыңыз үшін жазылды.
Айтпақшы, анықтамада ойылмаған маңай меңзелген. Демек функция ол нүктеде де анықталады және берілген шартқа сай келеді деген сөз.
Тапсырма.
$1)\ X$ жиынында бірқалыпты үзіліссіз болатын әрбір функцияның сол жиында үзіліссіз екенін дәлелдеңіз.
$2)\ X$ жиынында үзіліссіз болатын әрбір функция бірқалыпты үзіліссіз бола ма? Жауабыңызға дәлел келтіріңіз.
Әрине бәрін тізіп жазбаймыз, арасындағы негізгі деген қарапайымдарының тізімі.
| Функция | Үзіліссіздік аймағы | |
| Бірлік функциялар | $x$ | $\R$ |
| Көпмүшелік функция | $P(x)$ | $\R$ |
| Логарифмдік функциялар | $\log_a x, a\neq 1, x > 0$ | $\R^+$ |
| Көрсеткіштік функциялар | $a^x, a > 0$ | егер $a > 1$, онда $\R$, әйтпесе $D(f)$ |
| Дәрежелік функциялар | $x^a$ | $D(f)$ |
| $\cos x, \sin x$ | $\R$ | |
| $\tg x, \ctg x$ | $D(f)$ | |
| Кері Тригонометриялық функциялар | $D(f)$ |
Ал енді осыны дәлелдеңіз ;)
▲ Функцияның жиындағы үзіліссіздігі ▼ Үзіліссіз функциялардың қасиеттері
Егер $f: X \to \R$ функциясы $p \in X$ нүктесінде үзіліссіз болмаса, яғни үзіліссіз болу шарттарының кем дегенде бірі орындалмаса, онда ол осы нүктеде үзіліске ұшырайды деген сөз.
Анықтама. Егер қандай да бір $\varepsilon > 0$ саны кезінде кез келген $\delta > 0$ үшін $$|x_\delta - p| < \delta \rArr |f(x_\delta) - f(p)| \geqslant \varepsilon$$ жағдайы орындалатындай $x_\delta$ саны табылатын болса, онда $f$ функциясы $p$ нүктесінде үзіледі дейміз, ал $p$ нүктесі $f$ функциясының үзіліс нүктесі деп аталады.
Бірден мысалға кірісе берейік:
$f(x) = \dfrac{1}{x}$ функциясын алайық. Өзіңіз білетіндей, бұл функция $x = 0$ нүктесінде анықталмайды. Дәл осы тұста бірінші шарттың орындалмай тұрғанын көреміз. Жоғарыда айтылғандай, үзіліссіздік шартының біреуі ғана орындалмаса да соның өзі функцияның үзілісті екендігіне жеткілікті. Демек $f(x) = \dfrac{1}{x}$ функциясы $x = 0$ нүктесінде үзіліске ұшырайды. Бірақ басқа нүктелерде үзіліссіз болады.
Егер $p$ нүктесінде $f$ функциясының үзіліссіздік қасиеті бұзылса, онда $f$ функциясы $p$ нүктесінде үзілісті дейді екенбіз. Бірақ мұнымен іс бітпейді. Кей жағдайда осы үзіліс нүктесін сипаттау керек болады. Ал ол сипаттар мынадай:
Үзіліс нүктесі деген тек жалғыз нүкте. Бір нүктеде функцияның бірнеше үзіліс нүктесі болмайды. Үзіліс нүктелері көрсетілгендей екі үлкен топқа бөлінеді: бірінші және екінші түрдегі үзілістер. Негізі үзіліс нүктесінің қандай екендігі көп жағдайда маңызды емес. Десе де біліп жүрген жақсы әрине.
Анықтаманың кесте түрі есте сақтауға ыңғайлы болар:
| Бірінші түрдегі | Екінші түрдегі | |
|---|---|---|
| Егер $\lim\limits_{x\to p^+}f(x), \lim\limits_{x\to p^-}f(x)$ бар болса және ақырлы болса. | Біржақты шектертердің бірі не екеуі де жоқ болса, яки шексіздікке ұмтылса. | |
| Жөнделетін | Жөнделмейтін | |
| $$\lim\limits_{x\to p^-}f(x) = \lim\limits_{x\to p^+}f(x)$$ болған жағдайда | $$\lim\limits_{x\to p^-}f(x) \neq \lim\limits_{x\to p^+} f(x)$$ болған жағдайда; | |
Мұны дәлелдеу сіз үшін қызық болар деген оймен дәлелсіз қалдырылды.
Теорема (үзіліссіз функциялардың қасиеті). $p$ нүктесінің қ.б. маңайында анықталған және осы нүктеде үзіліссіз $f$ және $g$ функциялары берілген делік. Онда $(f \pm g)(x), (f\cdot g)(x)$ және егер $g(x)\neq 0$ болса $\bigg(\dfrac{f}{g}\bigg)(x)$ функциялары да осы нүктеде үзіліссіз болады.
$$\lim\limits_{x\to p} (f(x) \pm g(x)) = \lim\limits_{x\to p} f(x) \pm \lim\limits_{x\to p} g(x) = f(p) \pm g(p) = (f\pm g)(p).$$
Демек $\lim\limits_{x\to p} (f(x) \pm g(x)) = (f\pm g)(p)$ екен, нақтырақ айтсақ, $f + g$ функциясы $p$ нүктесінде үзіліссіз болады.Мұнда шектің бірнеше қасиеті қолданылғанын байқадыңыз деген ойдамын.
Салдар. Егер $f$ және $g$ функциялар $X$ жиынында үзіліссіз болса, онда олардың қосындысы, айырымы, көбейтіндісі және (егер алым сол жиындағы ешбір нүктеде нөл болмайтын болса) бөліндісі де осы жиында үзіліссіз болады.
Теоремадағы $p$ нүктесін $X$ жиынындағы кез келген нүкте ретінде қарастыру жеткілікті.
Теорема.
Егер $f(x)$ функциясы $p$ нүктесінде,
ал $g(u)$ функциясы $L = f(p)$ нүктесінде үзіліссіз болса,
онда $F(x) = g(f(x))$ күрделі функциясы $p$ нүктесінде үзіліссіз болады.
Яғни, егер $\lim\limits_{x\to p} f(x) = f(p) = L, \lim\limits_{y \to L} g(y) = g(L)$, онда
$\lim\limits_{x\to p} g(f(x)) = g(L).$
$$\tag{**}\lim\limits_{x\to p} F(x) = \lim\limits_{x\to p} g(f(x)) = M = g(L) = g(f(p))$$
сонда, $\lim\limits_{x\to p} F(x) = F(p)$ болды, сәйкесінше бұл функция $p$ нүктесінде үзіліссіз.Салдар. $E, K, X \sub \R$ жиындары берілген болсын. Егер $f: E \to K, g: K \to X$ үзіліссіз функциялары үзіліссі болса, онда $F = (g \circ f): E \to X$ функциясы да үзіліссіз болады.
Мұны ауызекі тілде "үзіліссіз функциялардан құрылған күрделі функция үзіліссіз болады" немесе "үзіліссіз функциялардың композициясы үзіліссіз болады" деп айтамыз. Бұдан басқа тағы пайдалы бір салдар бар:
Салдар. Теоремадағы $(**)$ теңдігінде $L = \lim\limits_{x\to p} f(x)$ болғандықтан $$\lim\limits_{x\to p}g(f(x)) = g(\lim\limits_{x\to p} f(x))$$ теңдігі орындалады.
Бұдан мынадай формулалар шығады:
Бұл формулалар шекті табу кезінде таптырмас құрал болады. Мысалға, алдыңғы тақырыпта дәлелдеген $\lim\limits_{x\to p} \sin x = \sin p$ теңдігін $\sin x$ үзіліссіз функция болғандықтан жәй ғана $\lim\limits_{x\to p} \sin x = \sin (\lim\limits_{x\to p} x) = \sin p$ деп-ақ дәлелдей салуға болады. Осымен сабақ аяқталды ✅