Функциялар арасында шек жағдайдағы салыстырулар жүргізуге болады. Ең қарапайым түрі ш.к. және ш.ү. функциялардың өзара салыстырылуы болмақ. Әңгімемізді солардан бастаймыз.
Шексіздікке ұмтылатын функциялар өсу реті, ал шексіз кіші функциялар кему реті бойынша жоғары ретті және төменгі ретті болып салыстырылады.
| $f(x)$ және $g(x)$ функциялары $x\to a$ кезінде Ш.Ү.Ф. болсын. Онда $$\lim\limits_{x\to a}\dfrac{f(x)}{g(x)} = \lambda$$ теңдігі кезінде | ||
| егер | онда | демек, |
| $0 < \lambda < \infty$ | онда $f(x)$ және $g(x)$ функциялары $x\to a$ кезінде бірдей реттегі шексіз үлкендер деп аталады. | $x\to a$ екеуінің кезінде өсу жылдамдықтарында онша бір айырмашылық жоқ |
| $\lambda = \infty$ | $f(x)$ функциясы $x\to a$ кезінде $g(x)$ функциясына қарағанда жоғары ретті шексіз үлкен деп аталады. | $f(x)$ ф.сы $x\to a$ кезінде $g(x)$ ф.сынан жылдамырақ өседі. |
| $\lambda = 0$ | $f(x)$ функицясы $x\to a$ кезінде $g(x)$ функциясына қарағанда төменгі ретті шексіз үлкен деп аталады. | $f(x)$ ф.сы $x\to a$ кезінде $g(x)$ ф.сынан баяуырақ өседі. |
| $\nexists\lambda$ | Салыстырымсыз | |
Және осыған ұқсас,
| $f(x)$ және $g(x)$ функциялары $x\to a$ кезінде Ш.К.Ф болсын. Онда $$\lim\limits_{x\to a}\dfrac{f(x)}{g(x)} = \lambda$$ теңдігі кезінде | ||
| егер | онда | демек, |
| $0 < \lambda < \infty$ | $f(x)$ және $g(x)$ функциялары бірдей реттегі шексіз кішілер деп аталады. | $x\to a$ екеуінің кезінде кему жылдамдықтарында онша бір айырмашылық жоқ |
| $\lambda = \infty$ | $f(x)$ функциясы $x\to a$ кезінде $g(x)$ функциясына қарағанда төмен ретті шексіз кіші деп аталады | $f(x)$ ф.сы $x\to a$ кезінде $g(x)$ ф.сынан баяу кемиді. |
| $\lambda = 0$ | $f(x)$ функциясы $x\to a$ кезінде $g(x)$ функциясына қарағанда жоғары ретті шексіз кіші деп аталады | $f(x)$ ф.сы $x\to a$ кезінде $g(x)$ ф.сынан жылдамырақ кемиді. |
| $\nexists\lambda$ | Салыстырымсыз | |
Ш.к.ф.лар мен ш.ү.ф.лардың байланысы жайлы теоремаға сүйенсек, егер $f(x)$ функциясы $x\to a$ кезінде $g(x)$ функциясына қарағанда жоғары ретті ш.ү. болса, онда $g(x)$ $f(x)$-тен шексіз кіші функция болады. Яғни, $$\lim\limits_{x\to a}\dfrac{f(x)}{g(x)} = 0 \rArr \lim\limits_{x\to a}\dfrac{1}{\frac{f(x)}{g(x)}} = \lim\limits_{x\to a}\dfrac{g(x)}{f(x)} = \infty.$$ Бұл заңдылық ш.к.ф.ларға да орындалады. Айтпақшы, $x\to a$ белгісі (егер $a$ тұрақты сан болса) аргументтің $a$ нүктесіне екі жағынан да ұмтылуын білдіретінін ұмытпаңыз. Және мұндағы $a$ белгісі $\pm\infty, p\pm 0, p\in \R$ жағдайларын қамтиды. Тағы бір нәрсе,
Егер $f(x)$ пен $g^n(x)$ функциялары $x\to a$ кезінде бірдей ретті шексіз үлкендер (шексіз кішілер) болса, онда $f(x)$ функциясы $g(x)$ функциясымен салыстырғанда $\bold{n}$-ші ретті шексіз үлкен (шексіз кіші) деп аталады. Яғни, егер $\lim\limits_{x\to a} \dfrac{\alpha}{\beta^m} = c < \infty\ (c \neq 0)$, онда $\alpha$ шексіз кіші функциясы $\beta$ - ға қарағанда $m$-ретті шексіз кіші дейміз.
$x^2$ функциясы $\sqrt{x}$ функциясынан $x\to \infty$ кезінде $4$-ші ретті шексіз үлкен. Және $x^2$ функциясы $x\to 0$ кезінде $\sqrt{x}$ функциясына қарағанда 4-ші ретті шексіз кіші болады.
$x\to 0$ кезінде $2x$ пен $x^2$ функциялары салыстырылымсыз. Себебі қатынасы жинақталмайды: $$\lim\limits_{x\to 0} \dfrac{2x}{x^2} = \begin{bmatrix} x\to 0^+ \rArr &\dfrac{2x}{x^2} \to +\infty;\\ x\to 0^- \rArr &\dfrac{2x}{x^2} \to -\infty.] \end{bmatrix}$$ $x\to 0$ кезінде $3x, x + x^2$ функциялары бірдей ретті ш.к.ф лар: $$\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{3x}{x + x^2} = \lim\limits_{x\to 0}\dfrac{3}{1 + x} = 3.$$ $x\to 0$ кезінде $x, x\sin\dfrac{1}{x}$ функциялары салыстырымсыз: $$\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{x\cdot \sin\frac{1}{x}}{x} = \lim\limits_{x\to 0}\sin\dfrac{1}{x} = \varnothing.$$
Нақты сандар жүйесінде анықталға $f(x)$ және $g(x)$ функциялары берілген болсын. Егер $a$-ның әйтеуір бір маңайында қандай да бір $\lim\limits_{x\to a}\lambda(x) = 1$ болатын $\lambda$ функциясы үшін $$f(x) = \lambda(x)g(x), x\in\mathring{N}(a)$$ теңдігі орындалса, онда $f$ функциясы мен $g$ функциялары $x\to a$ кезінде эквивалентті функциялар деп аталады, Бұл «$x\to a$ кезінде $f\sim g$» деп жазылады ($\sim$ таңбасы 'тильда' деп аталады).
Эквивалентті функциялардың қасиеттері.
$1)$ Егер $x\to a$ кезінде $f\sim g$ болса, онда $x\to a$ кезінде $g\sim f$ болады (симметриялылық).
$2)$ Егер $x\to a$ кезінде $f\sim g, g\sim h$ болса, онда $x\to a$ кезінде $f\sim h$ болады (транзитивтілік).
$$f(x) = \lambda_g(x)g(x) = \lambda_g(x)\lambda_h(x)h(x) = \lambda(x)h(x)$$
Байқағаныңыздай, мұнда $\lambda(x) = \lambda_g(x)\lambda_h(x)$ деп алдық. Екі функцияның көбейтіндісі туралы теорема бойынша,$$\lim\limits_{x\to a}\lambda(x) = \lim\limits_{x\to a}\lambda_g(x) \cdot \lim\limits_{x\to a}\lambda_h(x) = 1 \cdot 1 = 1$$
шегін аламыз. Осымен қасиет дәлелденді. $\blacktriangleright$Теорема. Егер $\lim\limits_{x\to a}\dfrac{g(x)}{f(x)} = 1$ болса, онда $x\to a$ кезінде $f\sim g$. (кері жағдайда орындалмауы мүмкін)
$\blacktriangleleft$ $\lim\limits_{x\to a}\dfrac{g(x)}{f(x)}$ шегі бар болғасын $a$ нүктесінің $\dfrac{g(x)}{f(x)}$ қатынасы анықталған ойылған маңайы бар. Демек, $f(x) \neq 0$. Онда осы маңайда $g(x) = \dfrac{g(x)}{f(x)}f(x)$. Ендеше, $\lim\limits_{x\to a}\dfrac{g(x)}{f(x)} = 1$ болғасын, $$\lim\limits_{x\to a} g(x) = \lim\limits_{x\to a} \dfrac{g(x)}{f(x)} f(x) = \lim\limits_{x\to a} f(x).$$ яғни $g(x) \sim f(x)$. Симметрия қасиеті бойынша $f(x) \sim g(x)$. Қасиет дәлелденді. $\blacktriangleright$
Аталған теорема эквивалентті функцияларды анықтауды едәуір жеңілдетеді.
Тапсырма. Егер $\lim\limits_{x\to a} \dfrac{f(x)}{g(x)} = 1$ болса, онда $\lim\limits_{x\to a}\dfrac{g(x)}{f(x)} = 1$ болатынын дәлелдеңіз.
Әрине, эквивалентті функциялар әр жағдайда болуы мүмкін. Соның ерекшелері ш.к.ф. мен ш.ү.ф. кезінде. Егер біз эквивалентті деген $f, g$ функциялары ш.к.ф.лар болса, онда олар эквивалентті ш.к.ф.лар деп аталады. егер ш.ү.ф.лар болса, онда эквивалентті ш.ү.ф.лар деп аталады.
Төменде шекті есептеу кезінде қолданылатын шексіз кіші эквивалентті функциялар келтірілген
Осы сәтте симметриялық қасиет бойынша $x \sim \sin x \sim \tg x \sim e^x - 1 \sim ...$ екенін аңғаруға болады. Мұндағы $\alpha$ күрделі функция болуы да мүмкін.
$$\lim\limits_{x\to q}\dfrac{\tg\alpha(x)}{\alpha(x)} = \lim\limits_{x\to q}\dfrac{\sin\alpha(x)}{\alpha(x)}\cdot\dfrac{1}{\cos\alpha(x)} = \lim\limits_{x\to q}\dfrac{\sin\alpha(x)}{\alpha(x)}\lim\limits_{x\to q}\dfrac{1}{\cos\alpha(x)} = 1.$$
$$\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\arcsin x}{x} = \lim\limits_{t\to 0}\dfrac{t}{\sin t} = \lim\limits_{t\to 0}\dfrac{1}{\frac{\sin t}{t}} = \dfrac{1}{1} = 1.$$
Сәйкесінше, $x\to 0$ кезінде $\arcsin x \sim x$.$$\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{1 - \cos x}{\frac{x^2}{2}} = \lim\limits_{x\to 0}\dfrac{2\sin^2\frac{x}{2}}{\frac{x^2}{2}} = \lim\limits_{x\to 0 (\frac{x}{2} \to 0)} \dfrac{\sin\frac{x}{2}}{\frac{x}{2}}\cdot \dfrac{\sin\frac{x}{2}}{\frac{x}{2}} = 1\cdot 1 = 1.$$
немесе$$\lim\limits_{x\to q}\dfrac{1 - \cos\alpha(x)}{\dfrac{1}{2}\alpha^2(x)} = \lim\limits_{x\to q}\dfrac{2\sin^2\dfrac{\alpha(x)}{2}}{\dfrac{1}{2}\alpha^2(x)} = \lim\limits_{x\to q}\Bigg(\dfrac{\sin\dfrac{\alpha(x)}{2}}{\dfrac{\alpha(x)}{2}}\Bigg)^2 = \Bigg(\lim\limits_{x\to q}\dfrac{\sin\dfrac{\alpha(x)}{2}}{\dfrac{\alpha(x)}{2}}\Bigg)^2 = 1.$$
$$\lim\limits_{x\to q} \dfrac{\log_a(1+\alpha)}{\alpha\cdot\log_a e} = \lim\limits_{t\to 0} \dfrac{\log_a(1 + t)}{t\cdot\log_a e} = \lim\limits_{t\to 0} \dfrac{\ln(1 + t)}{t} = \lim\limits_{t\to 0} \ln (1 + t)^{1/t} = \ln e = 1.$$
Мұнда $\log_a (1 + t)/ \log_a e = \log_e (1 + t)$ екені ескерілді.$$\lim\limits_{x\to q}\dfrac{(1 + \alpha(x))^p - 1}{p\alpha(x)} = \lim\limits_{x\to q}\dfrac{e^{p\ln(1 + \alpha(x))}- 1}{p\ln(1 + \alpha(x))}\cdot\dfrac{\ln(1 + \alpha(x))}{\alpha(x)} = 1,$$
мұнда $p\ln(1+\alpha(x))$ функциясы $x\to q$ кезінде ш.к. және $\ln e = 1$.Жаттығу 1. $x\to 0$ кезінде $\sqrt{1+x} - 1 \sim \dfrac{x}{2}$ екендігін көретіңіз.
$$\begin{aligned} \lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\sqrt{1 + x} - 1}{\frac{x}{2}} &= \lim\limits_{x\to 0}\dfrac{(\sqrt{1 + x} - 1)(\sqrt{1 + x} + 1)}{\frac{x}{2}\cdot(\sqrt{1 + x} + 1)} \\ &= \lim\limits_{x\to 0}\dfrac{x}{\frac{x}{2}(\sqrt{1 + x} + 1)} = \lim\limits_{x\to 0}\dfrac{2}{\sqrt{1 + x} + 1} = \dfrac{2}{2} = 1, \end{aligned}$$
болғандықтан $x\to 0$ кезінде $\sqrt{1 + x} - 1 \sim \dfrac{x}{2}$.Бұл шек жағдайында эквивалетті функцияларды ауыстыру жайлы теорема. Қажеттілік болып жатса шекті табу үшін шектегі функцияларды өзіне эквивалентті функциялармен алмастыруға мүмкіндік силайды. Бұл әсіресе ш.к.ф. жағдайында жиі қолданылады.
Теорема. $x\to a$ кезінде $f\sim f_1, g \sim g_1$ болсын. Егер $\lim\limits_{x\to a}\dfrac{f_1(x)}{g_1(x)}$ бар болса, онда $\lim\limits_{x\to a} \dfrac{f_1(x)}{g_1(x)}$ шегі де бар болады, және $$\lim\limits_{x\to a}\dfrac{f(x)}{g(x)} = \lim\limits_{x\to a}\dfrac{f_1(x)}{g_1(x)}$$ теңдігі орындалады.
$$\begin{aligned} \lim\limits_{x\to a}\dfrac{f(x)}{g(x)} &= \lim\limits_{x\to a}\dfrac{\lambda_f(x)f_1(x)}{\lambda_g(x)g_1(x)} \\ &= \lim\limits_{x\to a}\dfrac{\lambda_f(x)}{\lambda_g(x)} \cdot \lim\limits_{x\to a}\dfrac{f_1(x)}{g_1(x)} = \dfrac{\lim\limits_{x\to a} \lambda_f(x)}{\lim\limits_{x\to a} \lambda_g(x)} \cdot \lim\limits_{x\to a}\dfrac{f_1(x)}{g_1(x)} = \dfrac{1}{1} \cdot \lim\limits_{x\to a}\dfrac{f_1(x)}{g_1(x)} = \lim\limits_{x\to a}\dfrac{f_1(x)}{g_1(x)}.\end{aligned}$$
$\blacktriangleright$
Эквивалентті функциялардың симметриялық қасиеті бойынша,
егер шектің біреуі жоқ болса, басқасы да жоқ деген сөз.
Бұл дегеніміз эквивалентті функциялардың бірі ш.ү.ф. болса, онда
екіншісі де ш.ү.ф. деген сөз.
Бұл егер бір шек бар болса, онда басқасы да бар дегенді білдіреді.
Егер бірі жоқ болса, онда екіншісі де жоқ.
$a$ нүктесінің қандай да бір ойылған маңайында анықталған кез келген функция өз-өзіне эквивалентті болғасын
мына шектер бар болады:
$$\lim\limits_{x\to a}\dfrac{f_1(x)}{g(x)} = \lim\limits_{x\to a}\dfrac{f(x)}{g_1(x)} = \lim\limits_{x\to a}\dfrac{f_1(x)}{g_1(x)}.$$
Мұндағы $g$ мен $g_1$ функцияларын $1/g$ мен $1/g_1$ ге алмастыру арқылы соған ұқсас көбейтуге арналған теореманы аламыз:
Егер $x\to a$ кезінде $f(x) \sim f_1(x)$ және $g(x)\sim g_1(x)$, онда $$\lim\limits_{x\to a}[f(x) \cdot g(x)] = \lim\limits_{x\to a}[f_1(x) \cdot g_1(x)].$$
Мұны дәлелдеуді сізге қалдырдым ;) Қаласаңыз, осыған ұқсас бірнеше теоремалар құрап алсаңыз болады.
Анықтамалар жалпылама берілгенімен мысалдар тек екі жағдай үшін ($a = 0$ және $a = \infty$) ғана беріледі. Себебі шекке байланысты кез келген жағдайды осы екі жағдайдың біріне келтіруге болады. Осыған сәйкес, негізгі екі жағдайды дұрыстап түсіну мақсатында сол жағдайларға көбірек көңіл бөлеміз.
Шартты сөзбе-сөз айтар болсақ: егер $g(x)$ функциясы кейбір сандар арқылы ұмтылу нысанының қандай да бір маңайында $f(x)$ функциясынан (модуль бойынша) үлкен күйде бола алса.
Мысалға, $[-1, 1]$ аралығында $|x^3| \leqslant 1\cdot|x^2|$ теңсіздігі орындалатындықтан $x\to 0$ кезінде $x^3 = O(x^2)$ болады. Бұдан бөлек, $x\to 0$ кезінде $x^3 \in O(x)$ ($|x^3| \leqslant 1\cdot |x|)$ және $x^3 \in O(1)$ $(|x^3| \leqslant c\cdot 1)$.
$o(g(x)) \sub O(g(x))$ және $O(g(x)) \not \sub o(g(x))$. Яғни, қандай да бір сан арқылы белгілі бір аралықта басым болғанымен, кейбір сан кезінде кез келген аралықта басым бола алмайтын функциялар бар.
Аргументі қандай да бір нүктеге немесе шексіздікке ұмтылғандағы функцияның жай-күйін асимптотика деп атаймыз (ассимптотика сөзін асимптота сөзімен шатастырып алмаңыз). Функциялардың асимптотикасын зерттеуде (сипаттауда) қолданылатын белгілер асимптотикалық белгілер деп аталады. Асимптотикалық белгілер ретінде $O, \Omega, \Theta, o, \omega$ белгілері меңзеледі. Бұлар жайлы толықтай мына анықтамада танысамыз:
және,
$$\begin{aligned} f(x) \in \Omega(g(x)) &\lrArr g(x) \in O(f(x)), \\ f(x) \in \Theta(g(x)) &\lrArr f(x) \in O(g(x)) \land f(x) \in \Omega(g(x)) \end{aligned}$$
және $$f(x) \in \omega(g(x)) \lrArr g(x) \in o(f(x))$$ (бұларды дәлелдесеңіз тіпті керемет). Демек, бізге осы негізгі екеуін жақсылап түсініп алу керек. Ары қарай да осы нәрселерді ескере отырып теоремалар мен мысалдарды тек екеуіне береміз. Бұл тақырыптың көлемін біршама ықшам етеді.Мұны дәлелдеуді сізге тапсырдым (бұл тәсілдер тікелей анықтамалардан шығатынына назар аударсаңыз болады).
$$\lim\limits_{x\to 3}\dfrac{|9-x^2|}{|x|} = \lim\limits_{x\to 3}\bigg|\dfrac{9 - x^2}{x}\bigg| = \lim\limits_{x\to 3}\bigg|\dfrac{9}{x} - x\bigg| = |3 - 3| = 0$$
Демек, $(x\to 3)$ кезінде $9-x^2 \in o(x)$.Егер аргументтің қайда ұмтылатыны көрсетілмесе әдетте $x\to\infty$ деп қабылданады. Бұдан бөлек, '$f$ $g$ ден $O$ үлкен' мағынасындағы $f(x) \in O(g(x))$ белгіленуі кейде $f(x) = O(g(x))$ деп те жазылады. Бұл белгілеу қолайлы, десе де қолану кезінде абай болуға тура келеді. Себебі, бұл қарапайым мағынадағы теңдік белгісі емес, семмитриялық емес қатынас. Яғни $f(x) = O(g(x))$ болғандықтан $O(g(x)) = f(x)$ деу мағынасыз. Және $$f_1(x) = O(g(x)), f_2(x) = O(g(x))$$ теңдіктері $f_1 = f_2$ дегенді білдірмейді.
Асимптотикалық зерттеулерге байланысты еңбектерде бұлардан бөлек $\asymp, \prec, \ll, \preccurlyeq$ белгілері де кездеседі. Олар жайлы мына кестеден білсеңіз болады:
| Бахман-Ландау белгілері | Виноградов белгілері | Харди белгілері |
| $f(x) \in O(g(x))$ | $f(x) \ll g(x)$ | $f(x) \preccurlyeq g(x)$ |
| $f(x) \in \Omega(g(x))$ | ||
| $f(x) \in \Theta(g(x))$ | $f(x) \asymp g(x)$ | |
| $f(x) \in o(g(x))$ | $f(x) \prec g(x)$ | |
| $f(x) \in \omega(g(x))$ |
Бұлай бірнеше жолмен белгілену әртүрлі жағдайларда еркін қолдануға мүмкіндік береді.
Осымен сабақ аяқталды ✅