§ 1.5. Дифференциал

Өсімше ұғымы

Анықтаманың айтып тұрғанын былай тәржімалауға болады: $f(x)$ функциясының $p$ нүктедегі өсімшесі деп $f(x) - f(p)$ айырымын беретін басқа бір функцияны айтамыз. Мұндағы $x$ нүктелері $p$ нүктесінің маңайынан алынады.

Бұл функция аргументі ретінде $p$ нүктесі мен оның маңайындағы нүктелердің айырымын қабылдайды екен. Әдетте, қолдану кезінде қандай нүктедегі өсімше екені анық болса қарапайым етіп $\Delta f(\Delta x)$ деп жазылады.

Кейде ыңғайлылық үшін $f(x) - f(p)$ айырымын $\Delta_p y$ деп те белгілейді, яғни $\Delta_p y = f(x) - f(p)$. Бұл белгі де егер нүкте нақты белгілі болса $\Delta y$ деп жазыла береді.

Кейде $\Delta f(x)$ деп те жазылады. Неге осылай бірден $\Delta f(x)$ деп анықтамада берілген жоқ деген заңды сұрақ туындайды. Жауабы: Анықталу облысымен абай болу қажет. $f$ фукнциясының $p$ нүктесінің маңайында анықталғанына сенімді болғаныңызбен $\Delta x$ аргументі беретін мәндерде анықталатынына кепіл жоқ. Сол себепті осы мәндерде анықталатын жаңа бір функция атап қою сенімдірек болмақ.

Егер берілген $f$ функциясының бізге қажетті аралықтарда анықталғанына сенімді болсақ былай өрнектеуге болады: $f(\Delta x) = f(x - p) = f(x) - f(p) = \Delta f(x) = \Delta y.$ Ал егер сенімді болмаса, онда тып тыныш $\Delta f(\Delta x)$ деп ақ жаза берген дұрыс.

$\Delta x = x - p \rArr x = p + \Delta x$, сәйкесінше $\Delta f(\Delta x) = f(x) - f(p) = f(p + \Delta x) - f(p)$ және $f(x + \Delta x) = f(x) + \Delta f.$

Иә, айтуды ұмытып барам: $\Delta x$ пен $\Delta y$ тұтас символдар, бөлек дүниелердің көбейтіндісі деп қалмаңыз. Оқылғанда сәйкесінше "делта икс" және "делта уай" деп оқылады; Бұдан бөлек: $\Delta x$ пен $\Delta y$ өсімшелері оң да теріс сан да болуы мүмкін.

үзіліссіздікпен байланыстыру

Дәлелі

Дәлел үшін $\lim\limits_{x\to p}f(x) = f(p)$ теңдігін жаңа белгіде жаза салу жеткілікті. Оны былай жасаймыз:
$x\to p$ мен $x - p = \Delta x \to 0$ шарттары бірдей болғандықтан үзіліссіздіктің бастапқы анықтамасында берілген $\lim\limits_{x\to p}f(x) = f(p)$ теңдігі $\lim\limits_{x\to p}(f(x) - f(p)) = 0$ немесе $$\tag{*}\boxed{\lim\limits_{\Delta x \to 0}\Delta y = 0.}$$ түріне енеді.

Аталған шартты кейде үзіліссіздіктің анықтамасы ретінде де пайдаланады. Яни былай:

Егер $f(x)$ функциясы $p$ нүктесінде және оның маңайында анықталса және $(*)$ теңдігі орындалса, яғни аргументтің шексіз кішіреюі кезінде функция да шексіз кішірейсе, онда $y = f(x)$ функциясы $x_0$ нүктесінде үзіліссіз деп аталады.

Мұндай болса мына төмендегі жағдайдың бәрі үзіліссіздікке анықтама бола алады:

• $\lim\limits_{h\to 0} [f(p + h) - f(p)] = 0.$
• $\lim\limits_{\Delta x \to 0} [f(p + \Delta x) - f(p)] = 0.$
• $\lim\limits_{\Delta x \to 0} \Delta y = 0.$
• $f(p + h) - f(p) \to 0 (h \to 0).$
• $f(p + \Delta x) - f(p) \to 0 (\Delta x \to 0).$
• $\Delta y \to 0 (\Delta x \to 0).$
• $h \to 0 \rArr f(p + h) \to f(p).$
• $\Delta x \to 0 \rArr f(p + \Delta x) \to f(p).$
• $\Delta x \to 0 \rArr \Delta y \to 0.$

Мұндағы $\Delta x = x - p = h, \ \Delta y = f(x) - f(p)$ екенін есіңізге саламыз.

Туындымен байланыс

Үзіліссіздіктегі секілді Туындының $$f'(x) = \lim\limits_{\xi \to x} \dfrac{f(\xi) - f(x)}{\xi - x}$$ теңдеуінде $\Delta x = \xi - x, \Delta y = f(\xi) - f(x)$ алмастыруын енгізсек $$f'(x) = \lim\limits_{\Delta x \to 0}\dfrac{\Delta y}{\Delta x}$$ өрнегін аламыз. Немесе $$f'(x) = \lim\limits_{\Delta x \to 0}\dfrac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x}$$ деп жазуға да болады.

Анықтамасы

$f$ функциясының дифференциалы $df$ деп белгіленеді. $p$ нүктесіндегі диффернециал $d_{p}f$, $df_{p}$ немесе (егер $p$ мәтіннен ақ белгілі болса) жәй ғана $df$ деп белгіленеді.

Функцияның $x$ тәуелсіз айнымалысының $dx$ дифференциалы өсімшесіне тең, өйткені оның өсімшесі $$\Delta x = (x + \Delta x) - x = \Delta x,$$ болады. Мұнда $\Delta x$ - ке қатысты сызықтық бөлік $\Delta x$, демек $dx = \Delta x$. Осы себептен функцияның дифференциалын есептеу кезінде $\Delta x$ орнына $dx$ деп жазылады.

Дифференциалы табылатын функцияларды дифференциалданатын функциялар дейміз.

Туындымен байланысы

Теорема (туындының дифференциалмен байланысы). $f$ функциясының $x$ нүктесінде дифференциалы болуы үшін $x$ нүктесінде $f'$ туындысының бар болуы қажетті және жеткілікті. Бұған қоса, $$df(x) = f'(x) dx.$$

Яғни функцияның диффенренциалы оның туындысымен тығыз байланысты екен.

Дәлелі

Бұл дифференциалдың жұмысты жеңілдететін ең маңызды бір теоремасы. Себебі бұл теорема бойынша диффенренциалды табу мен туындыны табу бірдей шаруа болғасын, функциялардың дифференциалын табуда туындының заңдылықтарын пайдалана беріміз.

Бұл теореманың көмегімен функцияның дифференциалын табу жеңілдей түседі. Одан бұрын мына бір қызық жайға тоқталайық. Теореманың салдары ретінде мынадай нәтиже алуға болады: теоремада берілген $$df(x) = f'(x) dx$$ теңдігінің екі жағын да $dx$ ке бөлер болсақ, $$f'(x) = \dfrac{df(x)}{dx}$$ теңдігін аламыз, демек функцияның туындысы оның дифференциалының аргументінің дифференциалына қатынасына тең. Бұл жазу $f(x)$ функциясынан $x$ аргументі бойынша туынды алу деген мағынаны береді. $f_{x}'$ жазуымен пара пар.

Осы теореманы желеу етіп дифференциалды табуға қатысты мәселелерді едәуір жеңілдетіп алуға болады.

Инварианттылық қасиеті

Қазір өтетін теоремамыз өте пайдалы теорема. Жоғарыда $x$ тәуелсіз айнымалысы үшін $dx = \Delta x$ деген едік. Алайда егер $x$ өз алдына бір функция болған жағдайда $\Delta x \neq dx$, бірақ $df(x) = f'(x)dx$ теңдігі сақталады. Осы жағдайды мына теоремада қарастырамыз.

Дәлелі

Күрделі функцияның туындысы жайлы теорема бойынша былай жазуға болады: $$y'_x = y'_u \cdot u'_x.$$ Теңдіктің екі жағын да $dx$ - ке көбейтсек, $y'_x dx = y'_u \cdot u'_x dx$ теңдіктерін аламыз. Бірақ $y'_x dx = dy$ және $u'_x dx = du$. Демек, соңғы теңдікті былай жазуға болады: $$dy = y'_u\cdot du.$$

Мұндағы $dy = y'_x \cdot dx$ және $dy = y'_u \cdot du$ формулаларын салыстырар болсақ, $y = f(x)$ функциясының дифференциалы аргументі тәуелсіз айнымалы болса да өзге аргументті функция болса да бірдей формуламен анықталатынын көруге болады. Дифферециалдың бұл қасиеті дифференциал формасының инварианттылығы (өзгерімсіздігі) деп аталады. $dy = y'_x \cdot dx$ формуласының түрі $dy = y'_u \cdot du$ формуласымен сәйкеседі. бірақ арасында нақты бір айырмашылық бар: бірінші формулада $x$ - тәуелсіз айнымалы, демек, $dx = \Delta x$, ал екінші формулада $u$ - $x$ ке қатысты функция, сондықтан, жалпылама айтсақ, $du \neq \Delta u.$

Дифференциалын табу

Дәлелі

Дифференциалдар кестесі

Дифферециалдың анықтамасы мен дифференциалдың негізгі теоремасының көмегімен туындылар кестесін диффенренциалдар кестесіне айландыруға болады.
Мысалға, $d(\cos u) = (\cos u)'_u \cdot du = -\sin u\cdot du.$

1. $dc = 0;$
2. $d(u^\alpha) = \alpha\cdot u^{\alpha - 1}\cdot du;$
3. $d(a^u) = a^u\cdot\ln a\cdot du;$
4. $d(e^u) = e^u\cdot du;$
5. $d(\log_a u) = \dfrac{1}{u\cdot\ln a}\cdot du$
6. $d(\ln u) = \dfrac{1}{u}\cdot du;$
7. $d(\sin u) = \cos u du;$
8. $d(\cos u) = -\sin u du;$
9. $d(\tg u) = \dfrac{1}{\cos^2 u} du;$
10. $d(\ctg u) = -\dfrac{1}{\sin^2 u} du;$
11. $d(\arcsin u) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - u^2}} du;$
12. $d(\arccos u) = -\dfrac{1}{\sqrt{1 - u^2}} du;$
13. $d(\arctg u) = \dfrac{1}{1 + u^2}du;$
14. $d(\arcctg u) = -\dfrac{1}{1 + u^2} du;$

Жоғары ретті дифференциалдар

Туындыдағыдай мұнда да диффенренциалдау амалын бірнеше рет қайталау нәтижесінде жоғары ретті дифференциалдау түсінігі пайда болады. Әрине, $n$ - ші ретті дифференциалын табу үшін, оған дейінгі дифференциалдар табылуы қажет.

$y = f(x)$ функциясының $n$-ші ретті дифференциалы деп $(n-1)$ - ші дифференциалдың дифференциалын айтамыз және $d^n y$ деп белгілейміз.

$y = f(x)$ дифференциалданатын функция, ал оның аргументі $x$ - тәуелсіз айнымалы болсын. Онда оның бірінші ретті дифференциалы $dy = f'(x)dx$ да $x$ тен функция, оның да дифференциалын табуға болады. $y = f(x)$ функциясының дифференциалының дифференциалын екінші ретті дифференциал деп атаймыз және $d^2 y$ немесе $d^2 f(x)$ деп белгілейміз.
Сонымен, анықтама бойынша $d^2 y = d(dy)$. $y = f(x)$ функциясының екінші ретті дифференциалының өрнегін табайық. $dx = \Delta x$ $x$ тен тәуелсіз болғасын, дифференциалдау кезінде $dx$ ті тұрақты деп санаймыз:

$$d^2y = d(dy) = d(f'(x)dx) = (f'(x)dx)'\cdot dx = f''(x)dx\cdot dx = f''(x)(dx)^2,$$

яғни $$\tag{*} d^2y = f''(x)dx^2.$$ Мұнда $dx^2$ дегеніміз $(dx)^2.$
Үшінші ретті дифференциал да осыған ұқсас анықталады және табылады: $$d^3y = d(d^2y) = d(f''(x)dx^2) = f'''(x)(dx)^3.$$ Ал жалпы, $n$-ші ретті дифференциал $(n-1)$ - ші ретті дифференциалдың дифференциалы: $$d^n y = d(d^{n-1}y) = f^{(n)}(x)(dx)^n.$$ Бұдан $f^{(n)}(x) = \dfrac{d^n y}{dx^n}$ екенін анықтаймыз. Жеке жағдайда $n = 1,2,3$ кезінде сәйкесінше былай болады: $$f'(x) = \dfrac{dy}{dx}, \ \ f''(x) = \dfrac{d^2 y}{dx^2}, \ \ f'''(x) = \dfrac{d^3 y}{dx^3}.$$ Жоғарыда келтірілген формулалардың бәрі $x$ тәуелсіз айнымалы болғанда ғана орындалатынын ескерген жөн. Егер $y = f(x)$ функциясын, мұндағы $x$ - қандай да бір басқа тәуелсіз айнымалыдан функция болса, онда екінші және жоғары ретті дифференциалдар форманың инвариянттылық қасиетіне ие болмайды, және басқа формулалар арқылы есептеледі. Мұны дифференциалдың екінші реттісі мысалымен көрсетеміз.
$(d(u\cdot v) = vdu + udv)$ көбейтіндісінің дифференциалының формуласын қолдана отырып, мынаны аламыз:

$$d^2y = d(f'(x)dx) = d(f'(x))dx + f'(x) \cdot d(dx) = f''(x)dx \cdot dx + f'(x) \cdot d^2x,$$

яғни

$$\tag{s}d^2 y = f''(x)dx^2 + f'(x)\cdot d^2 x.$$

(*) және (s) формулаларын салыстыру арқылы, күрделі функциясы жағдайында екінші ретті дифференциал формуласы өзгеретінін байқаймыз:
Егер $x$ - тәуелсіз айнымалы болса, онда

$$d^2 x = d(dx) = d(1\cdot dx) = dx\cdot d(1) = dx \cdot 0 = 0$$

болады және (s) формуласы (*) формуласына ауысатыны түсінікті.