Жиын деп әртүрлі нәрселердің жинағын айтамыз. Құрамындағы нәрселерді жиынның элементі (кейде мүшесі) деп атаймыз.
Жиындар әдетте латын әріптері арқылы $(A,B,C,...,Z)$, ал элементтері кіші латын әріптері $(a,b,c,...,z)$ арқылы белгіленеді және жалпы түрде былай жазылады: $$A = \{x\}$$ Жиын элементтері көбінесе фигуралы жақша ішінде тізімделген күйде немесе осы жиынның барлық элементтеріне тән жалпы қасиеті арқылы жазылады: $$\{a,b,c,...\}\ \lor \ \{x:P(x)\}$$ Кейде $\{x | P(x)\}$ деп те жазылады, яғни $:$ орнына $|$ белгісі қолданылады. $P(x)$ деп $x$-қа қатысты заңдылықты, яки шартты белгілейміз. Мысалға $P(x) = "x$ ақ түсті$"$ болсын. Сонда $\{x | P(x)\} = \{$ сүт, қаймақ, парақ, ...$\}$ жиынын аламыз.
Мысалға:
$1)\ A = \{1,4,7\}$ жазуының мағынасы: $A$ жиыны $1,4,7$ сандарынан тұрады.(құралған)
$2)\ A = \{x:0 \leqslant x \leqslant 2\}$ жазуының мағынасы: $A$ жиыны $0 \leqslant x \leqslant 2$
теңсіздігін қанағаттандыратын барлық (нақты) сандардан тұрады, яғни $0,1,2$ сандарынан құралған.
$3)\ D = \{$кітап, қалам, дәптер, ноутбук$\}$ жиынын $D = \{x| x$ менің сөмкемдегі заттар$\}$ деп жазуға болады.
Ешқандай элементі жоқ жиынды бос жиын (кейде құр жиын) деп атаймыз да $\varnothing$ деп белгілейміз.
$x$-тің $A$ жиынының элементі екендігі $\in$ (тиістілік белгісі) арқылы $x\in A$ (кейде $A \ni x$) деп белгіленеді. Бұл белгілер «$x\ \ A$ жиынында жатыр», «$x \ \ A$ - ның элементі», «$x \ A$ - ға тиісті» деген мағыналарды береді және солай айтылады. Кері жағдайда $x\notin A$ (кейде $x \overline{\in} A$, немесе $A \notni x$) арқылы белгіленеді.
Мысалы $E = \{\Box, \triangle,\hearts, \diamonds\}$ болсын делік. Онда, $\triangle \in E, \ \ \Box \in E, \ \ \spades \notin E.$
Егер $A$ жиынының әрбір элементі $B$ жиынында жатса, онда $A$ жиынын $B$ жиынының жиыншасы (немесе ішкі жиыны) деп атаймыз да, $A\sube B$ деп белгілейміз. Мұны қысқаша былай жазамыз:$$A \sube B \iff (\forall x \in A:x\in B)$$ Мұнда $A \supseteq B \Leftrightarrow B \subseteq A$ екенін біле жүріңіз. Кері жағдайда $A \nsubseteq B$ $("A$ жиыны $B$ жиынының ішкі жиыны емес$"$ деген мағынада) деп белгілейміз. Егер $A$ жиынының әрбір элементі $B$ жиынында жатса және $B$ жиынында $A$ жиынында жоқ элементтер бар болса, онда, $A$ жиынын $B$ жиынының тиісті жиыншасы деп атаймыз да $A \subset B$ деп белгілейміз. Дегенмен ішкі жиынды белгілеуде көбіне осы $\subset$ (кірістіру белгісі) белгісі қолданылады. $A \subset B$ және $B \supset A$ жазуларының мағыналары бірдей.
Мысал_1:
$\{1, 2, 3\}$ жиыны $\{1, 3, 2\}$ жиынының жиыншасы, бірақ тиісті жиыншасы емес.
Яғни, $\{1, 2, 3\} \subseteq \{1,3,2\}$.
Бұл жағдайда $\{1, 2, 3\} = \{1,3,2\}$ десек те болады.
Мысал_2:
$\{1, 2, 3\}$ жиыны $\{1, 4, 2, 3\}$ жиынының тиісті жиыншасы, себебі $\{4\}$ элементі бірінші жиында жоқ.
Яғни мұны жәй ғана $\{1,2,3\} \subset \{1,4,2,3\}$ деп жазамыз.
Құр жиын жайын да ұмытуға болмас, құр жиын өзінен басқа кез келген жиынның жиыншасы.
Жиынның мөлшері деп жиындағы элементтер санын меңзейміз. Ағылшынша мұны кейде «cardinality» (кардиналити) деп атайды. Егер қандай да бір $A$ жиыны берілсе, оның мөлшері $|A|$ деп, кейде $\text{card} A$ деп белгіленеді. Бос жиынның мөлшері $0 -$ ге тең. Яғни $|\varnothing| = |\{\}| = 0,$ ал $|\{\varnothing\}| = 1.$
Мысалдар.
1) Егер $X = \{3,7,1,0\}$ болса, онда $X$ жиынының мөлшері 4 - ке тең, яғни $|X| = 4.$
2) Егер $X = \{4,6,1,3,5\}$ болса, онда $|X| = 5.$
3) Егер $X = \{1,9,0,1,1,2\}$ болса, онда $|X| = 4.$
4) Егер $X = \{7,7,7,7,7,...\}$ болса, онда $|X| = 1.$
Құрамында ішкі жиыны бар жиындардың мөлшері жайлы:
5) Егер $X = \{3,5,\{1,6\},0\}$ болса, онда $|X| = 4.$
6) Егер $X = \{7,\varnothing, 9\}$ болса, онда $|X| = 3.$
7) Егер $X = \{2,\varnothing, 5,\{\varnothing\},0\}$ болса, онда $|X| = 5.$
Жиындарды мөлшері бойынша салыстыруға болады. Егер бірінші жиынның әрбір елементін екінші жиынның елементтерімен сәйкестендіргенде (яғни, бір елементке тек бір ғана елементті байланыстырғанда) екі жиында да бірде-бір елемент бос қалмаса, онда бұл екі жиын өзара теңмөлшерлі жиындар деп аталады!
Жиындар мөлшері жағынан екіге бөлінеді: шекті және шексіз жиындар (ақырлы не шектеулі және ақырсыз не шектеусіз). Аттарынан-ақ қандай жиындар екенін аңдаған боларсыз. Шекті жиын деп элементтерінің санын білуге болатын, яғни қанша ұзын болса да санай берсе саны әйтеуір бір санға тоқтайтын жиындарды айтамыз.
▲Бастапқы ұғымдар Декартты көбейту ▼
Егер $A \subseteq B$ және $B \subseteq A$ болса, яғни $A$ және $B$ жиындары бірдей элементтерден тұратын болса, онда бұл екеуі өзара тең (сәйкес) жиындар деп аталады да $A = B$ деп жазылады: $$A=B\Leftrightarrow A\subseteq B \land B\subseteq A$$
Мысалға, $A = \{2,4,6\}$ және $B = \{6,2,4\}$ жиындары үшін $$A \subseteq B, A \supseteq B$$ кірістірімдері орындалатындықтан $A = B$ болады.
Жиындар арасында орындалатын негізгі амалдар мыналар:
$$A \triangle B = (A \backslash B) \cup (B \backslash A).$$
Тапсырма. $A \triangle B = (A \cap B) \backslash (A \cup B)$ теңдігін растаңыз.
$$\big((x_1,y_1) = (x_2,y_2)\big) \iff \big(x_1 = x_2 \land y_1 = y_2\big)$$
Кез келген $a$ және $b$ елементтерінен құралған реттелген жұпты дөңгелек жақша арқылы $(a,b)$ деп жазу мақұлданған. Мұндағы $a$ елементі жұптың бірінші координатасы (компаненті), ал $b$ елементі екінші координатасы (компоненті) деп аталады.$X$ және $Y$ жиындарының декартты көбейтіндісі деп барлық $(x,y)$ реттелген жұбының жиынын айтамыз: $$X \times Y = \{(x,y)|x\in X, y \in Y\}.$$
$$A \times B = \{(1,5),(1,7), (2,5), (2,7), (3,5), (3,7)\}$$
$$|A\times B| = n\cdot m \ \ \ ,|A^3| = n\cdot n\cdot n = n^3, \ \ \ |A^{83} \times B^{94}| = n^{83}m^{94}$$
Қандай да бір $X$ және $Y$ жиындары үшін $${|X| = \text{Card} X = n,} \\ {|Y| = \text{Card} Y = m.}$$ болса, онда$$|X \times Y| = nm, \space |X \cup Y| = n+m-|X\cap Y|.$$
Сандардан құралған жиындарды сандар жиыны деп атаймыз.
Бұл жиындар арасында мынадай байланыс бар: $$\N \subset \Z \subset \Bbb{Q} \subset \R$$
Енді ақырсыздармен бір көрісейік. $+\infty$ мен $-\infty$ символдары. Бұл символдарды ақырсыздар деп атаймыз да, келесі жағдайлар орындалады деп ұйғарамыз:
| Өзара қарым қатынасы | $x \in \R$ үшін | $x > 0$ үшін | $x < 0$ үшін |
| $$\begin{aligned} (+\infty)+(+\infty) &= +\infty; \\ (-\infty)+(-\infty) &= -\infty; \\ (+\infty)-(-\infty) &= +\infty. \\ (-\infty)\cdot(+\infty) &= -\infty; \\ (+\infty)\cdot(+\infty) &= +\infty. \end{aligned}$$ | $$\begin{aligned} x + \infty &= +\infty; \\ x - \infty &= -\infty; \end{aligned}$$ | $$\begin{aligned} x\cdot(+\infty) &= +\infty; \\ x\cdot(-\infty) &= -\infty; \end{aligned}$$ | $$\begin{aligned} x\cdot(+\infty) &= -\infty; \\ x\cdot(-\infty) &= +\infty. \end{aligned}$$ |
Ескерту! Сандар жиынына $+\infty$ пен $-\infty$ ақырсыздары кірмейді. Кеңейтілген нақты сандар жүйесі деп $\overline{\R} = \R \cup \pm \infty$ жиынын айтамыз.
Әйтеуір бір $X$ деген жиын берілсін. Егер бұл жиынның кез келген $x \in X$ элементінен үлкен болатын $c_1$ деген сан бар болса, онда $X$ жиынын жоғарыдан шенелген дейміз, ал егер барлық $x\in X$ элементінен кіші болатын $c_2$ саны табылса, онда $X$ жиынын төменнен шенелген дейміз. Төменнен де жоғарыдан да шенелген жиынды жәй ғана шенелген жиын деп атаймыз.
Егер $X$ жиыны шенелген жиын болса, онда оның құрамындағы ең үлкен элементін осы жиынның максимумы, ал ең кіші элементін минимумы деп атаймыз, және сәйкесінше $\max X, \min X$ деп белгілейміз.
Мысалға, $[0, 1]$ жиынын алайық. Бұл жиын шенелген жиын. Максимумы $1$, ал минимумы $0$ саны. Яғни, $$\max[0, 1] = 1, \ \min[0, 1] = 0.$$
Енді $X = (0, 1)$ жиынын алайық. бұның максимумы $1$ дейін десек, ол сан бұл жиынға тиесілі емес. Егер $0.9$ саны дейін десек, онымен бірдің арасында әлі талай нақты сан бар (мысалға $0.99$ дегендей). Міне, осындай жағдайда супремум деген ұғым керек болады.
Сөзбе-сөз айтар болсақ, $X$ жиынының кез келген елементінен үлкен және одан кіші кез келген санның арасында сол саннан үлкен болатын $X$ жиынының элементі табылатындай $a$ саны $X$ жиынының супремумы болады. Инфимумның анықтамасы да осыған ұқсас:
Байқағаныңыздай инфимум мен супремум ұғымдарының тынысы кең. Бұлар максимум мен минимумды да қамтитындықтан оларға қарағанда жиірек қолданылады. Айтпақшы, супремум тек жоғарыдан шенелген, ал инфимум тек төменнен шенелген жиындар үшін ғана анықталатынын естен шығармаңыз.
Өмір болғасын шенелмеген жиын да кезігіп қалуы мүмкін, ол кезде «жиынның супремумы жоқ» немесе (негізі бұлай айпаған жөн) «супремумы шексіздік» деп жауап бересіз.
Осымен сабақ аяқталды ✅