§ 2.2. Қатарлар

Анықтама. Қатар деп сумма белгісі арқылы жазылатын $$\displaystyle\sum_{k = 1}^\infty a_k = a_1 + a_2 + ... + a_n + ...$$ түріндегі өрнекті айтамыз.

Анықтамадағы $a_1, a_2, ...$ елементтерін қатардың мүшелері деп, $a_n$ - ді қатардың жалпы мүшесі деп атаймыз. Қатардың алғашқы $n$ мүшесінің қосындысы қатардың $n$-інші дербес қосындысы деп аталады да $s_n$ деп белгіленеді. Сонда, $$s_n = \displaystyle\sum_{k = 1}^n a_k = a_1 + a_2 + ... + a_n.$$

Негізі қатарды кез келген индекстен бастауға болады. Анықтамада берілген қатар $n = 1$ индексінен басталған. Кейбір қатарлар, әуелі, $n = 0$ ден басталады. Бірақ әдетте индекс $n=1$ ден басталатындықтан $\displaystyle\sum_{n = 1}^\infty a_n$ деп белгілеудің орнына жәй ғана $\sum a_n$ деп жазыла береді.

Анықтама. Қандай да бір $\sum_{i = 1}^\infty a_n$ қатары берілген болсын. Егер берілген қатардың $s_n$ дербес қосындыларының $\{s_n\}$ тізбегі жинақталса, яғни $\exist s : \lim s_n = s$, онда қатар жинақталатын қатар деп, ал $s$ нүктесі қатардың суммасы деп аталады. Кері жағдайда қатар жинақталмайды делінеді.

Қысқасы, дербес қосындыларының тізбегі жинақталатын қатар жинақталатын қатар деп аталады. $\sum a_i$ қатарының суммасы $s$ болатындығы мына теңдіктермен көрсетіледі: $$\lim\limits_{n\to\infty}s_n = \lim\limits_{n\to\infty}\displaystyle\sum_{i = 1}^n a_i = \displaystyle\sum_{i = 1}^\infty a_i = s$$

Ал енді қатардың қасиеттеріне көзайым болайық:

$(a)$

$\sum ca_n$ қатарының $n$-ші суммасын $S_n^{(a)}$ деп белгілейік, сонда $$S_n^{(a)} = ca_1 + ca_2 + ... + ca_n = c(a_1 + a_2 + ... + a_n) = c\cdot S_n.$$ Демек, $$\lim\limits_{n\to\infty}S_n^{(a)} = \lim\limits_{n\to\infty}cS_n = c\cdot\lim\limits_{n\to\infty}S_n = c \cdot S,$$ Яғни, $\sum ca_n$ қатары жинақталады және оның суммасы $cS$ болады.

$(b)$

$\sum a_n, \sum b_n$ және $\sum (a_n \pm b_n)$ қатарларының $n$-ші суммаларын сәйкесінше $S_n^{(a)}, S_n^{(b)}$ және $S_n$ деп белгілейік. Сонда, $$\lim\limits_{n\to\infty}S_n = \lim\limits_{n\to\infty}(S_n^{(a)} \pm S_n^{(b)}) = \lim\limits_{n\to\infty}S_n^{(a)} \pm \lim\limits_{n\to\infty}S_n^{(b)} = S_1 \pm S_2,$$ яғни, $\sum (a_n + b_n)$ қатары жинақталады және оның суммасы сәйкесінше $S_1 \pm S_2$ болады.

Кезігетін қатарлардың барлығының жинақталуын анықтама бойынша көрсету тиімсіз болады. Осы орайда қайтадан теоремарды жағалауға тура келеді.

Қатарлардың жинақталуының қажетті жағдайы

Теорема (Коши алғышарты). $\sum a_n$ қатары жинақталуы үшін $$\forall \varepsilon > 0\ \exist N : m \geqslant n \geqslant N \rArr \begin{vmatrix}\sum_{k = n}^m a_k\end{vmatrix} \leqslant \varepsilon$$ болуы қажетті және жеткілікті.

Жеке жағдайда, $m = n$ десек жоғарыдағы теңсіздік $|a_n| \leqslant \varepsilon\ \ (n \geqslant N)$ болып шыға келеді. Басқаша айтсақ,

Салдар. Егер $\sum a_n$ жинақталса, онда $\lim\limits_{n \to \infty}a_n = 0$ болады.

Берілген $\sum a_n$ қатары жинақталады делік, және $\lim\limits_{n\to\infty}S_n = S$ болсын. Онда $\lim\limits_{n\to\infty}S_{n - 1} = S$ жағдайы да орындалады. Осы орайда $n > 1$ кезінде $a_n = S_n - S_{n - 1}$ болатынын ескерсек: $$\lim\limits_{n\to\infty}a_n = \lim\limits_{n\to\infty}(S_n - S_{n - 1}) = \lim\limits_{n\to\infty}S_n - \lim\limits_{n\to\infty}S_{n - 1} = S - S = 0.$$

Яғни, егер $\sum a_n$ қатары жинақталса онда $a_n \to 0$ болуы қажет. Мұны пайдаланып кезіккен қатарларды әуелбастан бір тексеріп алуға болады. Бірақ бұл жарт жеткілікті шарт емес екендігін ұмытпаңыз. Анығырақ айтсақ, $a_n \to 0$ болуы $\sum a_n$ қатарының жинақталуын білдірмейді. Бұл дегеніміз, $\lim\limits_{n\to\infty} a_n = 0$ болатын жинақталмайтын қатарлар барын білдіреді. Оның мысалы ретінде гармоникалық қатарлар деп аталатын мына бір қатар түрін келтіруге болады: $$\sum_{n = 1}^\infty \dfrac{1}{n} = 1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} + ... + \dfrac{1}{n} + ...$$ Мұнда $\lim\limits_{n\to\infty}a_n = 0$ екені белгілі. Бірақ бұл қатар жинақталмайды.

Екінші қатар көмегімен жинақталуға зерттеу [Comparison tests]

Берілген $\sum a_n$ және $\sum b_n$ қатарларының $n$-ші дербес суммаларын сәйкесінше $S_n^{(a)}$ және $S_n^{(b)}$ деп белгілейік. $a_n \leqslant b_n$ теңсіздігінен $S_n^{(a)} \leqslant S_n^{(b)}$ теңсіздігі шығады.

$(a)$

$\sum b_n$ қатары жинақталатын болсын, және оның суммасы $S_2$ делік. Онда $\lim\limits_{n\to\infty}S_n^{(v)} = S_2.$ $\sum b_n$ қатарының элементтері теріс емес болғасын $S_n^{(b)} < S_2$, демек теңсіздікті қоса алғанда $S_n^{(a)} \leqslant S_2$. Осылайша $S_1^{(a)}, S_2^{(a)}, ...$ тізбегі монотонды өседі ($a_n > 0$) және жоғарыдан $S_2$ саны арқылы шенелген. Шектің бар болу белгісі бойынша $\{S_n^{(a)}\}$ тізбегінің шегі бар $\lim\limits_{n\to\infty} S_n^{(a)} = S_1$, яғни $\sum a_n$ қатары жинақталады.

$(b)$

Ал енді $\sum a_n$ қатары жинақталмайтын болсын. Қатардың элементтері теріс емес болғасын $\lim\limits_{n\to\infty}S_n^{(u)} = \infty$ Онда теңсіздікті есепке алсақ $\lim\limits_{n\to\infty} S_n^{(v)} = \infty$ демек $\sum b_n$ қатары жинақталмайды.

Кашидің конденсация белгісі [Cauchy condensation test]

Теорема. $a_1 \geqslant a_2 \geqslant ... \geqslant 0$ болсын делік. Онда $\sum_{n = 1}^\infty a_n$ қатары тек $$\sum_{k = 0}^\infty 2^k a_{2^k} = a_1 + 2a_2 + 4a_4 + 8a_8 + ...$$ жинақталғанда ғана жинақталады.

$\blacktriangleleft$ $$\begin{aligned} s_n &= a_1 + a_2 + ... + a_n,\\ t_k &= a_1 + 2a_2 + ... + 2^ka_{2^k} \end{aligned}$$ болсын делік. $n \lt 2^k$ үшін $$\begin{aligned} s_n &\leqslant a_1 + (a_2 + a_3) + ... + (a_{2^k} + ... + a_{2^{k+1} -1}) \\ &\leqslant a_1 + 2a_2 + ... + 2^k a_{2^k} = t_k, \end{aligned}$$ бұл дегеніміз, $$\tag{8}s_n \leqslant t_k.$$ Ал егер $n > 2^k$ болса, онда $$\begin{aligned} s_n &\geqslant a_1 + a_2 + (a_3 + a_4) + ... + (a_{2^{k - 1}+1} + ... + a_{2^k}) \\ &\geqslant \dfrac{1}{2}a_1 + a_2 + 2a_4 + ... + 2^{k - 1}a_{2^k} = \dfrac{1}{2}t_k, \end{aligned}$$ яғни $$\tag{9}2s_n \geqslant t_k.$$ (8) бен (9) бойынша $\{s_n\}$ мен $\{t_k\}$ екеуі де шенелген немесе екеуі де шенелмеген. $\blacktriangleright$

Коши және Даламбер белгілері

Анықтамадағы берілген шарт бойынша $\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{a_{n+1}}{a_n} = \rho$. Онда $$\begin{aligned} \forall \varepsilon \gt 0 \ \exist N \in \N : \forall n \gt N &\rArr \bigg|\dfrac{a_{n+1}}{a_n} - \rho\bigg| \lt \varepsilon \\ &\rArr \rho - \varepsilon \lt \dfrac{a_{n+1}}{a_n} \lt \rho + \varepsilon \\ \end{aligned}$$ жағдайы орындалады.

егер $\rho \lt 1$,

онда $\varepsilon \gt 0$ санын $\rho + \varepsilon \lt 1$ болатындай етіп таңдап алуға болады. Ыңғайлылық үшін $\beta = \rho + \varepsilon \lt 1$ деп белгілеп алайық. Онда сәйкес табылатын $N \in \N$ сандары үшін $$\begin{aligned}\forall n \geqslant N \rArr \bigg|\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\bigg| &\lt \beta \\ |a_{n+1}| &\lt \beta |a_n|\end{aligned}$$ Ары қарай $$\begin{aligned} |a_{N + 1}| &\lt \beta|a_N|,\\ |a_{N + 2}| &\lt \beta|a_{N + 1}| \lt \beta^2 |a_N|,\\ ..&...\\ |a_{N + p}| &\lt \beta^p|a_N|.\end{aligned}$$ Бұл дегеніміз, $n \geqslant N$ үшін $$|a_n| \lt |a_N|\beta^{-N}\cdot\beta^n.$$ Сонда, (*) теоремасы бойынша $\sum \beta^n$ қатары жинақталатындықтан $\sum a_n$ қатары да жинақталады.

егер $\rho \gt 1$,

онда тізбектің қандай-да бір $m$ нөмірінен кейінгі мүшелері үшін $$\bigg|\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\bigg| \gt 1$$ теңсіздігі орындалады деген сөз. Сонда, $$\forall n \gt m \rArr |a_{n+1}| \gt |a_n|,$$ яғни, қатардың мүшелері модуль бойынша өспелі. Сәйкесінше $\lim\limits_{n\to \infty}a_n \neq 0$. Ал бұл қатардың жинақталуының қажетті жағдайының орындалмайтынын көрсетеді.

егер $\rho = 1$,

онда жинақталу жайлы нақты бірдеңе айтуға келмейді дедік. Бұған да $\sum 1/n$ және $\sum 1/n^2$ қатарларын мысалға келтіруге болады.

Бұл тәсіл әдетте $n!$ немесе $a^n$ секілді өрнектері бар қатарларға қолданылады.

Абсолютті жинақталу

Теорема. Абсолютті жинақталатын қатарлар жинақталады.

Алайда әрбір жинақталатын қатар абсолютті жинақталады деуге келмейді.

Бұл парақша(тақырып) әлі толықтырылу үстінде...

Осымен сабақ аяқталды ✅