Анықтама.Қатар деп сумма белгісі арқылы жазылатын
$$\displaystyle\sum_{k = 1}^\infty a_k = a_1 + a_2 + ... + a_n + ...$$
түріндегі өрнекті айтамыз.
Анықтамадағы
$a_1, a_2, ...$ елементтерін қатардың мүшелері деп, $a_n$ - ді қатардың жалпы мүшесі деп атаймыз.
Қатардың алғашқы $n$ мүшесінің қосындысы қатардың $n$-інші дербес қосындысы деп аталады да $s_n$ деп белгіленеді.
Сонда, $$s_n = \displaystyle\sum_{k = 1}^n a_k = a_1 + a_2 + ... + a_n.$$
Негізі қатарды кез келген индекстен бастауға болады. Анықтамада берілген қатар $n = 1$ индексінен басталған.
Кейбір қатарлар, әуелі, $n = 0$ ден басталады.
Бірақ әдетте индекс $n=1$ ден басталатындықтан $\displaystyle\sum_{n = 1}^\infty a_n$ деп белгілеудің орнына жәй ғана $\sum a_n$ деп жазыла береді.
Анықтама.
Қандай да бір $\sum_{i = 1}^\infty a_n$ қатары берілген болсын.
Егер берілген қатардың $s_n$ дербес қосындыларының $\{s_n\}$ тізбегі жинақталса, яғни $\exist s : \lim s_n = s$,
онда қатар жинақталатын қатар деп, ал $s$ нүктесі қатардың суммасы деп аталады.
Кері жағдайда қатар жинақталмайды делінеді.
Қысқасы, дербес қосындыларының тізбегі жинақталатын
қатар жинақталатын қатар деп аталады. $\sum a_i$ қатарының суммасы $s$ болатындығы мына теңдіктермен көрсетіледі:
$$\lim\limits_{n\to\infty}s_n = \lim\limits_{n\to\infty}\displaystyle\sum_{i = 1}^n a_i = \displaystyle\sum_{i = 1}^\infty a_i = s$$
Ал енді қатардың қасиеттеріне көзайым болайық:
Теорема.
Қандай да бір $c \in \R$ саны мен
суммалары сәйкесінше $S_1$ және $S_2$ болатын $\sum_{n = 1}^\infty a_n$ және $\sum_{n = 1}^\infty b_n$
жинақталатын қатарлары берілген болсын. Онда,
$(a)$ $\sum ca_n$ қатары жинақталады, және оның суммасы $cS_1$ болады;
$(b)$ $\sum (a_n \pm b_n)$ қатары жинақталады, және оның суммасы $S_1 + S_2$ болады;
$(a)$
$\sum ca_n$ қатарының $n$-ші суммасын $S_n^{(a)}$ деп белгілейік, сонда
$$S_n^{(a)} = ca_1 + ca_2 + ... + ca_n = c(a_1 + a_2 + ... + a_n) = c\cdot S_n.$$
Демек,
$$\lim\limits_{n\to\infty}S_n^{(a)} = \lim\limits_{n\to\infty}cS_n = c\cdot\lim\limits_{n\to\infty}S_n = c \cdot S,$$
Яғни, $\sum ca_n$ қатары жинақталады және оның суммасы $cS$ болады.
$(b)$
$\sum a_n, \sum b_n$ және $\sum (a_n \pm b_n)$ қатарларының
$n$-ші суммаларын сәйкесінше $S_n^{(a)}, S_n^{(b)}$ және $S_n$ деп белгілейік. Сонда,
$$\lim\limits_{n\to\infty}S_n = \lim\limits_{n\to\infty}(S_n^{(a)} \pm S_n^{(b)}) = \lim\limits_{n\to\infty}S_n^{(a)} \pm \lim\limits_{n\to\infty}S_n^{(b)} = S_1 \pm S_2,$$
яғни, $\sum (a_n + b_n)$ қатары жинақталады және оның суммасы сәйкесінше $S_1 \pm S_2$ болады.
Кезігетін қатарлардың барлығының жинақталуын анықтама бойынша
көрсету тиімсіз болады. Осы орайда қайтадан теоремарды жағалауға тура келеді.
Қатарлардың жинақталуының қажетті жағдайы
Теорема (Коши алғышарты).
$\sum a_n$ қатары жинақталуы үшін
$$\forall \varepsilon > 0\ \exist N : m \geqslant n \geqslant N \rArr \begin{vmatrix}\sum_{k = n}^m a_k\end{vmatrix} \leqslant \varepsilon$$
болуы қажетті және жеткілікті.
Жеке жағдайда, $m = n$ десек жоғарыдағы теңсіздік $|a_n| \leqslant \varepsilon\ \ (n \geqslant N)$
болып шыға келеді. Басқаша айтсақ,
Салдар.
Егер $\sum a_n$ жинақталса, онда $\lim\limits_{n \to \infty}a_n = 0$ болады.
Берілген $\sum a_n$ қатары жинақталады делік, және $\lim\limits_{n\to\infty}S_n = S$ болсын.
Онда $\lim\limits_{n\to\infty}S_{n - 1} = S$ жағдайы да орындалады.
Осы орайда $n > 1$ кезінде
$a_n = S_n - S_{n - 1}$ болатынын ескерсек:
$$\lim\limits_{n\to\infty}a_n = \lim\limits_{n\to\infty}(S_n - S_{n - 1}) = \lim\limits_{n\to\infty}S_n - \lim\limits_{n\to\infty}S_{n - 1} = S - S = 0.$$
Яғни, егер $\sum a_n$ қатары жинақталса онда $a_n \to 0$ болуы қажет.
Мұны пайдаланып кезіккен қатарларды әуелбастан бір тексеріп алуға болады.
Бірақ бұл жарт жеткілікті шарт емес екендігін ұмытпаңыз.
Анығырақ айтсақ, $a_n \to 0$ болуы $\sum a_n$ қатарының жинақталуын білдірмейді.
Бұл дегеніміз, $\lim\limits_{n\to\infty} a_n = 0$ болатын жинақталмайтын қатарлар барын білдіреді.
Оның мысалы ретінде гармоникалық қатарлар деп аталатын мына бір қатар түрін келтіруге болады:
$$\sum_{n = 1}^\infty \dfrac{1}{n} = 1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} + ... + \dfrac{1}{n} + ...$$
Мұнда $\lim\limits_{n\to\infty}a_n = 0$ екені белгілі. Бірақ бұл қатар жинақталмайды.
Екінші қатар көмегімен жинақталуға зерттеу [Comparison tests]
Теорема (*) [Direct Comparison test].
Екі $\sum a_n$ және $\sum b_n$ қатарлары берілген делік.
Егер қандай да бір $N$ санынан кейінгі барлық $n$ үшін $0 \leqslant a_n \leqslant b_n$ теңсіздігі орындалса,
онда
$(a)$ егер $\sum b_n$ қатары жинақталса $\sum a_n$ қатары да жинақталады;
$(b)$ егер $\sum a_n$ қатары жинақталмайтын болса, $\sum b_n$ қатары да жинақталмайды.
Берілген $\sum a_n$ және $\sum b_n$ қатарларының $n$-ші дербес суммаларын
сәйкесінше $S_n^{(a)}$ және $S_n^{(b)}$ деп белгілейік.
$a_n \leqslant b_n$ теңсіздігінен
$S_n^{(a)} \leqslant S_n^{(b)}$
теңсіздігі шығады.
$(a)$
$\sum b_n$ қатары жинақталатын болсын, және оның суммасы $S_2$ делік.
Онда $\lim\limits_{n\to\infty}S_n^{(v)} = S_2.$
$\sum b_n$ қатарының элементтері теріс емес болғасын $S_n^{(b)} < S_2$, демек
теңсіздікті қоса алғанда $S_n^{(a)} \leqslant S_2$. Осылайша
$S_1^{(a)}, S_2^{(a)}, ...$ тізбегі монотонды өседі ($a_n > 0$) және жоғарыдан $S_2$ саны арқылы шенелген.
Шектің бар болу белгісі бойынша $\{S_n^{(a)}\}$ тізбегінің шегі бар
$\lim\limits_{n\to\infty} S_n^{(a)} = S_1$, яғни $\sum a_n$ қатары жинақталады.
$(b)$
Ал енді $\sum a_n$ қатары жинақталмайтын болсын.
Қатардың элементтері теріс емес болғасын
$\lim\limits_{n\to\infty}S_n^{(u)} = \infty$
Онда теңсіздікті есепке алсақ
$\lim\limits_{n\to\infty} S_n^{(v)} = \infty$
демек $\sum b_n$ қатары жинақталмайды.
Теорема (Limit comparison test).
Екі оңмәнді $\sum a_n$ және $\sum b_n$ тізбектері берілген болсын.
Егер нөлден өзге
$$\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{a_n}{b_n} = A\ (0 < A < \infty)$$
шегі бар болса, онда берілген екі қатар бірдей жинақталады не жинақталмайды.
Тізбектер шегінің анықтамасы бойынша кез келген $\varepsilon > 0$ үшін
$\bigg|\dfrac{a_n}{b_n} - A\bigg| < \varepsilon$ теңсіздігі орындалады.
Бұл теңсіздікті былай да жазуға болады:
$$(A - \varepsilon)\cdot b_n < a_n < (A + \varepsilon)\cdot b_n.$$
Егер $\sum a_n$ қатары жинақталса,
онда бұл теісіздіктің сол жақ теңсіздігі мен
(*) теоремасы бойынша $\sum_{n = 1}^\infty (A - \varepsilon)b_n$ қатары да жинақталады.
Ал егер $\sum a_n$ қатары жинақталмайтын болса,
онда шығатын теңсіздіктің оң жағы бойынша
және (*) теоремасындағы бірінші қасиет бойынша $\sum b_n$ қатары да жинақталмайды.
$\sum b_n$ жинақталғанда $\sum a_n$ қатарының да жинақталуы және соған керісі осы секілді дәлелденеді.
Кашидің конденсация белгісі [Cauchy condensation test]
$\blacktriangleleft$
$$\begin{aligned}
s_n &= a_1 + a_2 + ... + a_n,\\
t_k &= a_1 + 2a_2 + ... + 2^ka_{2^k}
\end{aligned}$$ болсын делік.
$n \lt 2^k$ үшін
$$\begin{aligned}
s_n &\leqslant a_1 + (a_2 + a_3) + ... + (a_{2^k} + ... + a_{2^{k+1} -1}) \\
&\leqslant a_1 + 2a_2 + ... + 2^k a_{2^k} = t_k,
\end{aligned}$$
бұл дегеніміз, $$\tag{8}s_n \leqslant t_k.$$
Ал егер $n > 2^k$ болса, онда
$$\begin{aligned}
s_n &\geqslant a_1 + a_2 + (a_3 + a_4) + ... + (a_{2^{k - 1}+1} + ... + a_{2^k}) \\
&\geqslant \dfrac{1}{2}a_1 + a_2 + 2a_4 + ... + 2^{k - 1}a_{2^k} = \dfrac{1}{2}t_k,
\end{aligned}$$
яғни
$$\tag{9}2s_n \geqslant t_k.$$
(8) бен (9) бойынша $\{s_n\}$ мен $\{t_k\}$ екеуі де шенелген немесе екеуі де шенелмеген.
$\blacktriangleright$
Салдар.
$\sum \dfrac{1}{n^p}$ қатары берілген болсын. Бұл қатар
егер $p > 1$ болса жинақталады;
егер $p \leqslant 1$ болса жинақталмайды.
Коши және Даламбер белгілері
Теорема (Коши белгісі).
Оңтаңбалы $\sum a_n$ қатары мен соған сәйкес $\alpha = \limsup\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}$ шегі берілген болсын.
Онда, $\sum a_n$ қатары
егер $\alpha < 1$ болса жинақталады;
егер $\alpha > 1$ болса жинақталмайды;
егер $\alpha = 1$ болса, онда екеуі де мүмкін.
$\blacktriangleleft$
Егер $\alpha < 1$ болса,
онда барлық $n \geqslant N$ кезінде
$$\sqrt[n]{|a_n|} \lt \beta$$
теңсіздігі орындалатындай етіп $\alpha \lt \beta \lt 1$ теңсіздігіне сай
$\beta$ саны мен $N$ санын таңдап алайық.
Олай болса бұл сандар үшін
$$\forall n \geqslant N \rArr |a_n| < \beta^n.$$
Мұнда $0 < \beta < 1$ болғандықтан $\sum \beta^n$ қатары жинақталады.
Сәйкесінше, (*) теоремасы бойынша $\sum a_n$ қатары да жинақталады.
Егер $\alpha > 1$ болса,
онда
$$\sqrt[n_k]{|a_{n_k}|} \to \alpha$$
жағдайына сай $\{n_k\}$ тізбегі табылады.
Содан, шексіз көп $n$ - дер үшін $|a_n| \gt 1$ болатындықтан
$\sum a_n$ қатарының жинақталуына қажетті жағдай болатын $a_n \to 0$ шарты
орындалмайды.
Егер $\alpha = 1$ болған жағдайда
екеуі де мүмкін дедік.
Оған мысал ретінде
$$\sum \dfrac{1}{n}, \sum \dfrac{1}{n^2}$$
қатарларын келтіруге болады.
Бұлар үшін $\alpha = 1$ болғанымен біріншісі жинақталмайды, ал екіншісі жинақталады.
Екеуі сәйкесінше жинақталатынына және жинақталмайтынына қайшымысал болады.
$\blacktriangleright$
Теорема (Даламбер белгісі).
Оңтаңбалы $\sum a_n$ қатары мен соған сәйкес
$\lim\limits_{n\to\infty} \dfrac{a_{n+1}}{a_n} = \rho$
шегі берілген болсын. Онда $\sum a_n$ қатары
егер $\rho \lt 1$ болса жинақталады;
егер $\rho > 1$ болса жинақталмайды;
егер $\rho = 1$ болса екеуі де мүмкін.
Анықтамадағы берілген шарт бойынша $\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{a_{n+1}}{a_n} = \rho$.
Онда
$$\begin{aligned}
\forall \varepsilon \gt 0 \ \exist N \in \N : \forall n \gt N &\rArr \bigg|\dfrac{a_{n+1}}{a_n} - \rho\bigg| \lt \varepsilon \\
&\rArr \rho - \varepsilon \lt \dfrac{a_{n+1}}{a_n} \lt \rho + \varepsilon \\
\end{aligned}$$
жағдайы орындалады.
егер $\rho \lt 1$,
онда $\varepsilon \gt 0$ санын $\rho + \varepsilon \lt 1$ болатындай етіп таңдап алуға болады.
Ыңғайлылық үшін $\beta = \rho + \varepsilon \lt 1$ деп белгілеп алайық.
Онда сәйкес табылатын $N \in \N$ сандары үшін
$$\begin{aligned}\forall n \geqslant N \rArr \bigg|\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\bigg| &\lt \beta \\
|a_{n+1}| &\lt \beta |a_n|\end{aligned}$$
Ары қарай
$$\begin{aligned}
|a_{N + 1}| &\lt \beta|a_N|,\\
|a_{N + 2}| &\lt \beta|a_{N + 1}| \lt \beta^2 |a_N|,\\
..&...\\
|a_{N + p}| &\lt \beta^p|a_N|.\end{aligned}$$
Бұл дегеніміз, $n \geqslant N$ үшін $$|a_n| \lt |a_N|\beta^{-N}\cdot\beta^n.$$
Сонда, (*) теоремасы бойынша $\sum \beta^n$ қатары жинақталатындықтан $\sum a_n$ қатары да жинақталады.
егер $\rho \gt 1$,
онда тізбектің қандай-да бір $m$ нөмірінен кейінгі мүшелері үшін
$$\bigg|\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\bigg| \gt 1$$
теңсіздігі орындалады деген сөз. Сонда,
$$\forall n \gt m \rArr |a_{n+1}| \gt |a_n|,$$
яғни, қатардың мүшелері модуль бойынша өспелі.
Сәйкесінше $\lim\limits_{n\to \infty}a_n \neq 0$.
Ал бұл қатардың жинақталуының қажетті жағдайының орындалмайтынын көрсетеді.
егер $\rho = 1$,
онда жинақталу жайлы нақты бірдеңе айтуға келмейді дедік.
Бұған да $\sum 1/n$ және $\sum 1/n^2$ қатарларын мысалға келтіруге болады.
Бұл тәсіл әдетте $n!$ немесе $a^n$ секілді өрнектері бар қатарларға қолданылады.
Абсолютті жинақталу
Анықтама.
Егер $\sum |a_n|$ қатары жинақталса, онда $\sum a_n$ қатары абсолютті жинақталатын қатар дейміз;
Егер берілген $\sum a_n$ қатары жинақталса, бірақ сәйкес $\sum |a_n|$ қатары жинақталмаса, онда
берілген қатарды шартты жинақталатын қатар дейміз.